Big Bang HTL 3, Schulbuch

Bewegungsgleichungen 1 Ausgewählte Kapitel der klassischen Physik (III. Jg., 5. Sem.) 7 Was gibt die Steigung in einem s - t -Diagramm an (Abb. 1.7; F7 )? Die Steigung einer Geraden ist generell ∆ y / ∆ x und so- mit in diesem Fall ∆ s / ∆ t = v . Die Steigung im s-t- Diagramm gibt daher die Geschwindigkeit an! Wie ist das beim v - t -Dia- gramm? Dort entspricht die Steigung ∆ v / ∆ t = a . Die Stei- gung im v-t- Diagramm gibt daher die Beschleunigung an! Abb. 1.8: v - t -Diagramm für frei fallende Gegenstände auf Erde und Mond; Anstieg: ∆ Geschwindigkeit/ ∆ Zeit = Beschleunigung Verwechsle den Anstieg in diesem Diagramm nicht mit Abb. 1.7! Jenes sieht zwar ähnlich aus, ist aber ein s - t -Diagramm! Solange in s - t - und v - t -Diagrammen die Anstiege gleich bleiben (wie in Abb. 1.7 und 1.8), ist das mit der Steigung kein Problem. Die „Kurve“ ist in diesem Fall dann eine Gera- de und hat somit auf der ganzen Länge dieselbe Steigung. Wie ist das aber, wenn es sich bei den Funktionen um wirk- liche Kurven handelt? Kann eine Kurve an einem bestimm- ten Punkt überhaupt eine Steigung haben ( F9 )? Ja, und hier kommt das Differenzieren ins Spiel? Differential - und Integralrechnung wurden unabhängig von einander von S IR I SAAC N EWTON und G OTTFRIED W ILHELM L EIBNIZ Ende des 17. Jahrhunderts entwickelt. Newton ging als Physiker sehr praxisbezogen an die Sache heran und ent- wickelte die Differenzialrechnung aus dem „Geschwindig- keitsproblem“. Er stellte sich die Frage, wie man für eine gegebene s - t -Funktion die Momentangeschwindigkeit für jeden beliebigen Zeitpunkt berechnen könnte. Er ging dabei vom Differenzenquotienten v = ∆ s / ∆ t aus. Dabei wird ja bei einer gekrümmten Funktion eine Sekante gelegt (Abb. 1.9). Wenn man das Zeitintervall ∆ t nun immer kleiner werden lässt, dann erhält man immer genauere Werte für die Mo- mentangeschwindigkeit, bis man schließlich die Tangente an einem bestimmten Punkt und somit auch die Steigung der Funktion in diesem Punkt erhält ( F9 ; siehe Abb. 1.9). Abb. 1.7: Weg-Zeit- Diagramm von drei Bewegungen; Anstieg: ∆ Weg/ ∆ Zeit = Geschwindigkeit Abb. 1.9: Wenn man die Geschwindigkeit über v = ∆ s / ∆ t berechnet, legt man im Prinzip eine Sekante durch die Funktion. Wenn man jedoch v = d s /d t berechnet, legt man eine Tangente an die Kurve. Natürlich ist die zweite Methode genauer, weil sie quasi der „wirklichen“ Steigung entspricht. Newton definierte den Differentialquotienten d s /d t (sprich: ds nach dt) als den Grenzwert (den Limes) des „normalen Bruchs“, wenn die Zeitdifferenz ∆ t gegen null geht. Mathe- matisch sieht das dann so aus: Formel: Geschwindigkeit als Differentialquotient v = lim ∆→ 0 ∆ s __ ∆ t = d s __ d t = • s v … Geschwindigkeit [ v ] = m/s ∆ s …Wegstück [ ∆ s ] = m d s … infinitesimales Wegstück [d s ] = m ∆ t … Zeitintervall [ ∆ t ] = s d t … infinitesimales Zeitintervall [d t ] = s • s … d s /d t in der Newton’schen Schreibweise Die Geschwindigkeit ist also die erste Ableitungsfunktion oder kurz die erste Ableitung des Weges nach der Zeit. Sie gibt an jedem Punkt die Steigung der s - t -Funktion an ( F6 ). Auf ähnliche Weise kann man auch die Beschleuni- gung definieren: Formel: Beschleunigung als Differentialquotient a = lim ∆→ 0 ∆ v __ ∆ t = d v __ d t = • v = s a … Beschleunigung [ a ] = [ v ]/[ t ] = (m/s)/s = m/s 2 ∆ v … Geschwindigkeitsänderung [ ∆ v ] = m/s d v … infinitesimale Geschwindigkeitsänderung [ ∆ v ] = m/s ∆ t … Zeitintervall [ ∆ t ] = s d t … infinitesimales Zeitintervall [d t ] = s • v , s … d v /d t in der Newton’schen Schreibweise Nun lässt sich auch die Bewegungsgleichung (Kap. 1.1) umschreiben bzw. anders formulieren, wobei p = m · v der Impuls eines Objekts ist (siehe Kap. 8.1, Band 1): Formel: Newton’sche Bewegungsgleichung F = m · a = m d 2 s ___ d t 2 = m d v __ d t = d ( m · v ) ______ d t = d p ___ d t F … beschleunigende Kraft m …Masse des Gegenstands a … Beschleunigung des Gegenstands [ F ] = [ m ] · [ a ] = kg·m / s 2 = N F F F Nu zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv