Big Bang HTL 3, Schulbuch

Lösungen 185 6 Grundlagen der Elektrotechnik Durch den Wechselstrom wird in der Spule die Selbstinduktionsspan- nung U ind = – L d I /d t induziert. Zur Berechnung von R L gehen wir davon aus, dass diese Spannung der angelegten Spannung U ( t ) entgegen- wirkt. Die angelegte Spannung muss die induzierte kompensieren und steht nicht voll zur Verfügung: U ( t ) = U m sin ω t = – U ind + I ( t ) R Wenn man den Ohm’schen Widerstand vernachlässigt, erhält man U m sin ω t = – U ind = L d I /d t . Wie man sich durch Einsetzen in die Gleichung überzeugen kann, folgt daraus für den Strom: I ( t ) = –( U m / ω L ) cos ω t = – I m cos ω t Für den induktiven Widerstand ergibt sich daher R L = U m / I m = U eff / I eff = ω L Um den kapazitiven Widerstand zu berechnen, berücksichtigen wir, dass die von der augenblicklichen Ladung Q des Kondensators hervorgerufene Spannung Q/C gleich der angelegten Spannung U ( t ) sein muss. Wenn man andere Widerstände vernachlässigt, gilt daher Q/C = U m sin ω t oder Q = CU m sin ω t . Für den Ladestrom I ( t ) folgt daraus I ( t ) = d Q /d t = ω CU m cos ω t . Für den kapazitiven Widerstand ergibt sich R C = U m / I m = U eff / I eff = 1/ ω C Für die Momentanleistung gilt allgemein P ( t ) = I ( t )· U ( t ). Nun setzen wir Stromstärke und Generatorspannung ein und nehmen an, dass diese eine Phasenverschiebung von ϕ aufweisen: P ( t ) = [ I m sin( ω t – ϕ )·[ U m sin ω t ] Dieser Ausdruck lässt sich umformen: P ( t ) = I m U m sin( ω t – ϕ ) sin ω t = 1 __ 2 I m U m [cos ϕ – cos(2 ω t – ϕ )] Für den Verbraucher ist der zeitliche Mittelwert P ausschlaggebend, die Wirkleistung. Da cos( ω t – ϕ ) zwischen –1 und +1 schwankt, ist der Mittelwert über die Zeit null. Für die Wirkleistung P ergibt sich daher P = 1 __ 2 I m U m cos ϕ = I eff U eff cos ϕ W ERNER VON S IEMENS erkannte, dass der Restmagnetismus des Eisenkerns genügt, um das Aufschaukeln zu starten. Dreht sich dann die Spule in dem schwachen, noch vorhandenen Magnetfeld, so entsteht ein kleiner Induktionsstrom, der den Elektromagneten verstärkt und so weiter. Warum ist dieses Aufschaukeln nicht grenzenlos? Das Magnetfeld erreicht eine Sättigung, wenn alle Elementarmagnete ausgerichtet sind. Der durch den Kurzschluss sehr hohe Strom fließt durch das Magnet- feld. Dabei wird eine Lorentz-Kraft auf ihn ausgeübt. Der springende Punkt: Als Reaktion auf die Ablenkung des Stroms tritt eine Gegenkraft auf (3. Newton’sches Axiom). Die führt zu einem Drehmoment, das den Zylindermagneten in Rotation versetzt. Die Symmetrie der Konstellation wird dadurch nicht verändert, so dass die Bedingungen für eine kontinuierliche Bewegung, die Rotation, erhalten bleiben. Wird der Universalmotor mit Wechselstrom betrieben, dann ändert sich gleichzeitig die Flussrichtung des Stroms im Elektromagneten und in der Leiterschleife. Dadurch bleibt die Richtung der Lorentz-Kraft gleich. Du kannst das mit der Drei-Finger-Regel überprüfen. Ändere die Richtung von Strom und Magnetfeld, und der Mittelfinger zeigt wieder in dieselbe Richtung. Der Widerstand der Leitungen ist R = ( ρ l )/ A (NAWI 1, Kap. 17.4) und beträgt daher bei 100km 10Ω. Die Leistung von Ybbs-Persenbeug beträgt 2,4·10 8 W. Der Leistungsverlust bei 220kV beträgt daher P v = ( P 2 · R )/ U 2 ≈ 1,2·10 7 W oder rund 5%, bei 380kV nur 4·10 6 W oder 1,7%. Absolut gesehen verliert man durch die höhere Spannung rund 8·10 6 W weniger, also 8 Millionen Watt! Das entspricht dem Verbrauch von etwa 12.000 Haushalten! Eine Turbine liefert etwa 3,4·10 7 W. Wenn beim Hochtransformieren 2% verloren gehen, sind das 6,8·10 5 W bzw. J/s. Wasser hat eine spezifische Wärmekapazität von 4190J/(kgK) (NAWI 1, Kap. 14.4). Um 1l Wasser von 20 auf 100°C zu erwärmen, benötigt man daher 3,35·10 5 J. Der Trafo wäre ein prima Wasserkocher, weil er das nämlich in rund 0,5s schafft. Die Wärmeverluste sind also gigantisch. Deshalb müssen Großtrafos sehr gut gekühlt werden. Meistens passiert das durch Öl, weil dieses gleichzeitig als Isolator wirkt. 230V und 9,9A ergeben bei einem Leistungsfaktor von 0,87 1980W. Die 2kW sind daher etwas aufgerundet. 2kW entsprechen 2/0,736W = 2,71PS. arccos(0,87) = 29,5° und tan(29,5°) = 0,57 = R L / R . R L ist also R ·0,57. R ges = R L / R. F19 F20 F21 F22 F23 F24 F25 Weil cos ϕ = cos(– ϕ ) Der Prostest entsteht, weil Hochspannungsleitungen als gesundheitsge- fährdend gelten, nachdem einige Studien für Unruhe gesorgt haben. Am bekanntesten ist die der Elite-Universität Oxford: Forscher analysierten die Daten des nationalen Krebsregisters aus den Jahren 1962 bis 1995 und stellten einen Zusammenhang zwischen Leukämie- erkrankungen bei Kindern und der Nähe des Wohnorts der Mutter zu einer Hochspannungsleitung zum Geburtszeitpunkt her. Bei einer späteren, größer angelegten Studie konnte dieser Effekt nicht mehr nachgewiesen werden. Trotzdem ist die Verunsicherung geblieben. Der Trenntrafo hat ein Übersetzungsver- hältnis von 1 :1. Weil aber keiner der beiden Pole der Sekundärspule geerdet ist, kann man gefahrlos einen Pol berühren, da der Stromkreis trotzdem nicht geschlossen ist. Man darf allerdings nicht gleichzeitig beide Pole berühren. Man darf niemals an elektrischen Geräten basteln oder sie reinigen, solange sie unter Spannung stehen. Solange kleine Kinder im Haus sind, alle Steckdosen durch eine Kindersicherung sichern. Defekte Elektroinstallationen sofort vom Fachmann reparieren lassen! Beschädigte elektrische Kabel dürfen nicht verwendet werden. Mit Isolierband zu flicken ist unzulässig. Keine am Netz hängenden elektrischen Geräte (Fön, Radio) neben der Badewanne. Sich niemals in die Nähe von Hochspannungsleitungen begeben, etwa, indem man auf einen Waggon klettert. Warum ist elektrischer Strom für den Menschen gefährlich? Der Körper steuert seine Funktionen durch sehr schwache elektrische Ströme, welche über die Nerven weitergeleitet werden (siehe Abb. 17 und Abb. 18). Wenn nun Strom von außen den Körperstrom überlagert, kommt es zu Fehlfunktionen der angesteuerten Körperorgane, z.B. zur Verkrampfung der Muskeln oder zum lebensgefährlichen Herzkammer- flimmern. Schon bei einem Stromfluss von nur 30mA durch den Körper während 0,2 Sekunden kommt es zu den genannten Erscheinungen. Abb. 16: Aufbau einer Nervenzelle: Über die Dendriten bekommt die Zelle elektrische Signale (also Information), über das Axon sen- det sie welche aus. Die rote Stelle markiert das Aktionspotenzial, das sich entlang des Axons von links nach rechts bewegt. Abb. 17: Ausbreitung eines elektrischen Reizes in der Nervenfaser: Die Änderung der Span- nung erfolgt durch die Diffusion von Na + und K + . An der Vorderfront strömt Na + ein und an der Hinterfront K + aus. Die Voltangaben geben die Spannung zwischen innen und außen an. a: Der magnetische Fluss durch eine Leiterschleife ist Φ = B · A . Das gilt aber nur, wenn das Magnetfeld senkrecht zur Leiterschleife steht. Für einen beliebigen Winkel α gilt Φ = B · A ·cos α (siehe Abb. 6.3, S. 55). Weil sich die Leiterschleife kontinuierlich dreht, gilt weiters α = ω · t . Das kann man nun in das Induktionsgesetz einsetzen. Um die Induktionsspannung ausrechnen zu können, muss man den Differen- zialquotienten nehmen: U ind = – d Φ ___ d t = – d( BA cos α ) _________ d t = – BA d(cos ω t ) _______ d t = BA ω sin ω t b: Man kann die magnetische Induktion ( B ) des Magneten erhöhen (also einen stärkeren Magneten nehmen), man kann die Fläche der Leiterschleife ( A ) vergrößern, man kann die Winkelgeschwindigkeit ( ω ) erhöhen, also die Rotationsgeschwindigkeit der Leiterschleife, und man kann die Anzahl der Leiterschleifen erhöhen, indem man eine Spule nimmt. Die berechnete Induktionsspannung gilt ja für jede einzelne Leiterschleife. Wasser hat eine Dichte von etwa 1000kg/m 3 . Die 350m 3 Wasser, die pro Sekunde durch jede Turbine fließen, haben daher eine Masse von 350m 3 ·1000kg/m 3 = 3,5·10 5 kg. Im Wasser steckt die potenzielle Energie E p = mgh = 3,5·10 5 ·9,81·11 J ≈ 3,8·10 7 J. Nur 90% oder 3,42·10 7 J dieser freigesetzten Energie können für die Erzeugung des Stroms genutzt werden. Weil diese Energie jede Sekunde freigesetzt wird, beträgt die Leistung 3,42·10 7 J/s oder 3,42·10 7 W. Das sind also rund 34 Millionen Watt oder 34 Megawatt pro Turbine. F26 F27 Abb. 15 F28 F29 F30 F31 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv