Big Bang HTL 3, Schulbuch

182 Lösungen 3 Wellen – Vertiefung Durch das Anblasen werden zwar alle möglichen Frequenzen erzeugt, es „überleben“ aber nur die Wellen, die in die Flasche passen. Alle ande- ren löschen sich durch destruktive Interferenz aus. Eine gezupfte Saite schwingt mit einem starken Knick (siehe Abb. 6). Für einen solchen Knick sind aber sehr viele Obertöne notwendig, und das hört man sofort am Klang. Infobox Doppel-Doppler-Effekt: Zunächst ist das Blutkörperchen der „Beobachter“. v Obj ist die Geschwindigkeit des Blutkörperchens, v die des Schalls. Daher gilt: ∆ f = f’ – f = f ( 1 − v obj ___ v ) – f = f v obj ___ v Dann ist das Blutkörperchen der „Sender“ und es gilt: ∆ f = f’ – f = f 1 _____ 1 + v obj ___ v – f = f v obj _____ v + v obj Weil die Schallgeschwindigkeit v viel größer ist als die des Blutkörper- chens, kann man den vorletzten Term vereinfachen. Durch den doppelten Doppler-Effekt ergibt sich daher | ∆ f ges | ~ 2 f ( v Obj / v ). Straßenverkehr: Im Falle von elektromagnetischen Wellen sind die Gleichungen für Bewegung von Sender und Empfänger gleich. Es gilt daher: ∆ f = f 1 − v obj ___ c _____ 1 + v obj ___ c – f. Weiters gilt die Näherung: 1 − x ____ 1 + x ≈ 1 – 2 x Deshalb ergibt sich auch in diesem Fall: | ∆ f ges | ~ 2 f ( v obj / v ). Diese Frage war lange ein großes Rätsel. 1905 konnte A LBERT E INSTEIN aber zeigen, dass Licht und elektromagnetische Wellen allgemein kein Medium zur Ausbreitung brauchen. Das ist deshalb möglich, weil man sie als Welle und Teilchen zugleich betrachten kann, und fliegende Teilchen brauchen kein Medium. Diese Erkenntnis ist eine der Grundlagen der Relativitätstheorie. Trägt eine Wasserwelle Energie? Ja! Eine Welle bedeutet ja den Transport von Energie. Eine Wasserwelle kann aber einen Korken nicht verschieben. Sie hat keinen Nettoimpuls. Was bedeutet das? Der Nettoimpuls, also die Summe der Impulse in den Einzelteilen der Welle, ist bei einer Wasserwelle null. Gleiches gilt auch für den Schall. Weil sich an Decke und Boden Wellenknoten ausbilden, entspricht die Höhe der halben Wellenlänge. Eine 6-m-Schallwelle hat bei Zimmer- temperatur eine Frequenz von 57Hz. So tief kann kein Mensch singen. Aber auch bei 114Hz, 171Hz, … kannst du Resonanz erzeugen, also bei allen Obertönen. Mechanische Wellen: Würde der Beobachter ruhen, so würden pro Sekunde die auf einer Strecke SB liegenden Wellenberge mit v = λ f Q vorbeilaufen (siehe Abb. 8). Er würde die Frequenz f Q wahrnehmen. Wenn er sich bewegt, dann durchsetzt er in einer Sekunde zusätzlich v B / λ Wellenberge. Er nimmt daher eine größere Frequenz wahr: Bei einer Bewegung von der Schallquelle weg ist v B durch – v B zu ersetzen. F7 F9 Abb. 6 F12 F16 F17 Abb. 7 F18 F19 F20 Abb. 8 Bewegter Beobachter: Der äußerste Kreis hat den Durchmesser einer „Schallsekunde“. Wie sieht es bei einer bewegten Quelle aus? Die Schallquelle S ist zur Zeit t = 0 bei 0 (siehe Abb. 9) und erregt einen Wellenberg. Während sie sich in einer Sekunde um v nach links verschiebt, erregt sie in den Punkten 1, 2, 3 und 4 weitere Wellenberge (mit z.B. f Q = 4 Hz). Alle diese Wellenberge sind zur selben Zeit t = 1s eingezeichnet. Für den bei 0 zur Zeit t = 0 erregten Wellenberg gilt r = v ·1s, für den bei 1 erregten Wellenberg gilt r = v ·0,75s. Zum Beobachter 1 gelangt eine kleinere Wellenlänge λ 1 = ( v – v Q )/ f Q . Daraus folgt f B = v __ λ 1 = f Q v ____ v − v Q = f Q 1 ______ 1 − v Q / v . Für Beobachter 2 ist v Q durch – v Q zu ersetzen. Elektromagnetische Wellen: Nimm an, dass sich eine Lichtquelle mit der Geschwindigkeit v von dir entfernt. In Analogie mit einer sich entfernenden Quelle bei einer Schallwelle kann man daher die Frequenz so anschreiben: f B = f Q 1 ______ 1 + v Q / c Bei hohen Geschwindigkeiten tritt aber zusätzlich ein Effekt auf, den man die Zeitdehnung nennt (siehe Band IV): Für bewegte Objekte vergeht die Zeit langsamer und daher sinkt auch die Frequenz f Q um den Faktor √ _____ 1 − v Q 2 ___ c 2 ab. Wenn man diesen Effekt in der oberen Gleichung berücksichtigt, erhält man f B = f Q √ _____ 1 − v 2 Q ___ c 2 ______ 1 + v Q / c . Wir ersetzen nun v Q / c durch a . f B = f Q √ ____ 1 − a 2 _____ 1 + a = f Q √ ____ 1 − a 2 _______ √ ______ ( 1 + a ) 2 = f Q √ __________ ( 1 − a )( 1 + a ) ___________ √ _____ ( 1 + a )( 1 + a ) = f Q √ ____ 1 − a _____ √ 1 + a Wenn man nun wieder einsetzt, erhält man: f B = f Q √ ______ 1 − v Q / c _______ √ ______ 1 + v Q / c Weil EM-Wellen kein Medium zur Ausbreitung benötigen, spielt es keine Rolle, ob sich die Quelle oder der Beobachter bewegt. Man kann daher die Geschwindigkeit der Quelle v Q durch die Relativgeschwindigkeit zwischen Beobachter und Quelle v BQ ersetzen. Bei Annäherung befindet sich im Zähler ein + und in Nenner ein –. Nein! Diese Frage führt auf direktem Weg zur Relativitätstheorie. Eine Lichtmauer im Sinn einer Schallmauer gibt es nicht, weil Licht von der Warte eines Raumschiffpiloten auch nach vorne immer c hat und – im Gegensatz zur Schallwelle – nicht eingeholt werden kann. Nimm die Gleichung aus Tab. 3.1 (S. 30), setz die für Autostraßen erlaubte Maximalgeschwindigkeit von 100km/h (27,8m/s) ein und für die Schallgeschwindigkeit 340m/s. Es geht hier nur ums Frequenz- verhältnis: 1 ______ 1 − v Q / v ______ 1 ______ 1 + v Q / v = 1 + v Q / v ______ 1 − v Q / v = 1 + 27,8/340 _________ 1 − 27,8/340 = 1,178 Das erlaubte Frequenzverhältnis ist 1,177. Wenn du „Kuckuck“ hörst, liegt aber ein Frequenzverhältnis von 6/5 = 1,2 vor. Das Auto ist also zu schnell. „Kuckuck“ entspricht 111km/h! F1-Boliden fahren maximal rund 300km/h (83,3m/s). Das ergibt ein Frequenzverhältnis von rund 5 :3. Das ist eine große Sext. Für eine Oktav müsste das Auto 408km/h (113,3m/s) fahren. Das schafft nicht einmal ein F1-Auto! Mechanische Wellen brauchen zur Ausbreitung ein Medium, elektroma- gnetische Wellen nicht. Deshalb ist es auch sinnlos, von einer Bewegung der Quelle oder des Beobachters zu sprechen. Es gibt dann eben nur Relativbewegungen. Rot! Ganz einfach kannst du das rechnen, wenn du für v = 0,6 und für c = 1 einsetzt. Es geht hier nicht um die absoluten Geschwindigkeiten, sondern um die Verhältnisse. Das Ergebnis ist 0,5. Die Frequenz wurde halbiert und aus blau wurde rot. Echo und Hall entstehen durch Reflexion von Schallwellen. Beim Hall ist so wenig Zeit zwischen dem ursprünglichen Geräusch und dem reflektierten, dass wir sie nicht wirklich trennen können. Beim Echo entsteht eine ganz deutliche Pause dazwischen. Abb. 9 bewegte Quelle F21 F22 F23 F24 F25 Nur zu Prüfzwecken __ – Eigentum des Verlags öbv