Big Bang HTL 3, Schulbuch

Lösungen 181 Liegt der Körperschwerpunkt eines rotierenden Teiles nicht genau in der Drehachse, beginnt er zu schwingen. Das kannst du manchmal bei Deckenventilatoren sehen. Diese Schwingung ist umso stärker, je genauer die Drehzahl mit der Eigenfrequenz übereinstimmt. Und diese Eigenfrequenz wird eben bei einer bestimmten Drehzahl erreicht. Was kann man dagegen tun? Man kann den Reifen wuchten lassen. Dabei werden zusätzliche Massenstücke angebracht. Das Pfeifen des Lautsprechers hat zwar mit Rückkopplung, nicht aber mit Resonanz zu tun. Der Lautsprecher verstärkt alle Frequenzen, nicht nur eine bestimmte! Resonanzphänomene sind aber immer mit einer bestimmten Frequenz verbunden. Stimmt nicht. Zwar ist es üblich, dass Soldaten beim Überqueren von Brücken nicht im Gleichschritt marschieren, jedoch gibt es keinen dokumentierten Fall, in dem eine Brücke durch die Resonanz der Schritte eingestürzt ist. Die Millenium-Brücke in London (Abb. 2.15, S. 15) hat aber gezeigt, dass Brücken zumindest sehr stark zu schwingen beginnen können. Wenn man die Kraft im Hooke’schen Gesetz mit dem 2. Newton’schen Gesetz gleichsetzt und die Zentripetalbeschleunigung berücksichtigt, erhält man F = k · x = m · a = m · ω 2 · x . Daraus folgt k = m · ω 2 und ω = √ __ k __ m . Weiters gilt ω = 2 π / T und daher T = 2 π / ω . Wenn man nun für ω den Term von oben einsetzt, erhält man T = 2 π ___ √ k __ m = 2 π √ __ m __ k . Diese Gleichung gilt ganz allgemein, aber auch speziell für das Federpendel. Bestim- mend für die Schwingungsdauer sind also die Masse und die Federkonstante. Bei einer Auslenkung ϕ wirkt auf die Pendelmasse eine rücktreibende Kraft F T = mg ·sin ϕ . Bei kleinen Auslenkungen gilt sin ϕ ≈ ϕ und somit F T = mg ·sin ϕ = mg ϕ = mg x _ l = kx . Dabei ist die „Federkonstante“ k = mg ___ l . Die rücktreibende Kraft ist bei kleiner Schwingungsweite proportional zur Auslenkung, und das Pendel führt daher eine harmonische Schwingung aus. Die allgemeine Gleichung für die harmonische Schwingung eines Pendels lautet T = 2 π √ __ m __ k . Wenn du nun das k von oben einsetzt, erhältst du für die Schwingungsdauer eines Fadenpendels T = 2 π √ ____ m ___ mg ___ l = 2 π √ __ l __ g . Die Federkonstante k beim Federpendel kommt durch die Eigenschaf- ten der Feder zu Stande. Sie ist von der schwingenden Masse unabhängig. Eine Erhöhung der Masse (die in diesem Fall als träge Masse m T wirkt; siehe Tab. 1) führt daher zu einem Absinken der Schwin- gungsdauer. Es ist so ähnlich, als würde man ein Auto mit einer Feder beschleunigen. Wenn seine Masse größer wird, sinkt die Beschleuni- gung ab. Die „Federkonstante“ beim Fadenpendel hängt jedoch vom Gewicht des Pendels und somit von seiner schweren Masse ( m S ) ab. Eine Erhöhung der Masse führt sowohl zu einer Erhöhung der schweren als auch der trägen Masse. Weil träge und schwere Masse zwei Erscheinungsformen der Masse und somit immer exakt gleich groß sind, heben sich die beiden Effekte genau auf. Es ist so ähnlich, als würde man ein Auto durch freien Fall beschleunigen. Eine größere Masse ist zwar schwerer in Bewegung zu setzen (größere träge Masse), wird jedoch auch von der Erde stärker angezogen (schwere Masse). Beide Effekte heben sich auf. Federpendel Fadenpendel T = 2 π √ ___ m T ___ k T = 2 π √ ___ m T ___ k = 2 π √ ____ m T l ____ m s g = 2 π √ __ l __ g k = Federkonstante k = m s g ____ l Tab. 1: Schwingungsdauer bei Feder- und Fadenpendel a: Bei t = 0 ist der Klammerausdruck ebenfalls null. Weil sin(0) = 0 gilt, beginnt diese Schwingung bei t = 0 mit einer Auslenkung von 0. Wenn die Schwingung mit maximaler Auslenkung beginnen soll, muss der Sinus des Klammerausdrucks 1 ergeben. In der Klammer muss daher in Summe der Werte π /2 stehen (bedenke, dass man den Winkel immer im Bogenmaß angibt). Daher muss der Klammerausdruck 2 π t _ T + π __ 2 lauten. F32 F33 F34 F36 F37 F38 F39 b: Es gilt e – δ t = 1 __ e δ t . Weil der Nenner mit zunehmendem t größer wird, wird der gesamte Ausdruck kleiner. Die Funktion muss daher streng monoton fallend sein. Sie kann aber nicht linear fallen, weil y ( t ) niemals null oder kleiner sein kann. Unmathematisch ausgedrückt muss die Funktion daher eine Art Bogen beschreiben und sich der x-Achse annähern – ohne diese jemals zu erreichen (siehe Abb. 4). Ein größeres δ bedeutet einen größeren Nenner und daher einen kleineren Funktionswert. In diesem Fall sinkt die Funktion schneller ab (rote Linie in Abb. 4). c: d: Die Formel für die gedämpfte Schwingung lautet: y ( t ) = e – δ t A sin ( 2 π t _ T + π __ 2 ) . Du willst die Abnahme der Schwingung vom ersten zum zweiten Maximum berechnen. Beim Maximum der Schwingung liefert der Sinus des Klammerausdrucks immer 1, für t = 0 z.B. sin( π /2) = 1, für t = T sin(2 π + π /2) = 1 und so weiter. Weil die Amplitude ebenfalls mit 1 angenommen ist, brauchen wir also nur den Term e – δ t berücksichtigen. Ganz allgemein kann man daher anschrei- ben: y (0) – y ( T ) = e – δ 0 – e – δ T = 1 – e – δ T . Wenn man nun für δ = 0,5 und 1 einsetzt und für T = 1s, erhält man 0,39 (das entspricht also einem Absinken auf 39%) und 0,63 (63%). Diese berechneten Werte decken sich mit den Verhältnissen bei den Kurven in Abb. 5. Immer dann, wenn die rücktreibende Kraft linear zur Auslenkung ist, entsteht eine harmonische Schwingung. Steigt die Flüssigkeitssäule auf der einen Seite, so sinkt sie auf der anderen Seite um die gleiche Strecke. Die rücktreibende Kraft ist daher die Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule mit der Höhe 2 y . Es gilt daher F = m · g . Aus ρ = m / V folgt m = ρ · V . Das Volumen ist wiederum Grundfläche A mal Höhe y . Man kann daher schreiben: F = m · g = ρ · V · g = ρ · A ·2 y · g . Daraus folgt F ~ y . Weil die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist, ist die Schwingung daher harmonisch. Aus T = 2 π  √ __ l __ g folgt durch Umformen l = T 2 g ___ 4 π 2 . Bei gleicher Schwingungs- dauer ist also l ~ g . Schätzen wir einmal grob ab. Die Fallbeschleuni- gung am Mars beträgt über den Daumen 1/3 der Erdbeschleunigung. Daher muss die Pendellänge rund 1/3m betragen (für ein Pendel, das in 1s eine Halbschwingung macht) oder rund 8cm (für ein Pendel, das in 1s eine komplette Schwingung macht). Wenn man exakt rechnet und in der Formel oben für T zwei bzw. eine Sekunde einsetzt, erhält man 37,3cm und 9,3cm. Pendeluhren am Mars wären also ziemlich kompakt! Eine Frequenz von 0,45s –1 bedeutet eine Schwingungsdauer von T = 1/0,45s –1 = 2,22s. Die Formel für die Schwingung einer Masse zwischen zwei Federn lautet T = 2 √ ___ m __ 2 k . Wenn man nach k auflöst, erhält man k = 2 2 m ____ T 2 . Einsetzen liefert k = 256Nm –1 . Abb. 4: Grafische Darstel- lung der Funktion y ( t ) = e – δ t Abb. 5: Grafische Darstellung der Funktion y ( t ) = e – δ t A sin ( 2 π t __ T + π __ 2 ) für T = 1, A = 1 und δ = 0,5 (schwarze Kurve) bzw. 1 (rote Kurve) F40 F41 F42 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv