Big Bang HTL 3, Schulbuch

180 Lösungen Lösungen 1 Bewegungsgleichungen 1) v ( t ) : Lösen der Bewegungsgleichung m ·d v ( t )/d t = F 0 – γ · v ( t ) – σ · v ( t ) 2 durch Integration (Partialbruchzerlegung): ∫ d v _________ av 2 + bv + c = ∫ d t ( a = – σ /m, b = – γ /m, c = F 0 /m) ergibt – 1 _ k ln ( 2 av + b + k ________ 2 av + b − k ) = t + Konst. ( k = √ ________ 4 σ F 0 + γ 2 _______ m 2 ) . Man löst nach v auf , setzt für die Integrations- konstante C = e −k·Konst. = b + k ____ b − k (da v = 0 für t = 0) und erhält: v ( t ) = A B [1 − e −kt ] _________ A + B e −kt (Abb. 1.14, S.9) ( A = ( k + b ) _____ 2 a = km + γ _____ 2 σ , B = ( k – b ) _____ 2 a = km − γ _____ 2 σ ) 2) s ( t ) : Lösen der Differentialgleichung: d s /d t = AB [1 − e −kt ] _________ A + B e −kt , also ∫ ds = ∫ AB [1 − e −kt ] _________ A + B e −kt mit der Substitution und x = e –kt und Partialbruch- zerlegung. Die Integrationskonstante ergibt sich aus der Bedingung, dass für t = 0 s = 0 sein muss: s(t) = A __ k ln A + B e –kt _______ A + B + B __ k ln A e kt + B ______ ( A + B ) (Abb. 1.14, S.9) 3) a ( t ) : Differentiation von v ( t ) (Quotientenregel!) ergibt: a ( t ) = kAB ( A + B )e −kt ] ____________ ( A + B e −kt ) 2 (Abb. 1.16, S.10) (Für eine detaillierte Ableitung siehe bigbang.oebv.at .) a: Man könnte vorschnell meinen, dass der Stoß genau in Richtung Tor erfolgen muss. Dann würde aber die Bahn des Balles nur etwas abgelenkt. In welche Richtung muss aber die Kraft zeigen? Überlegen wir zuerst, wie groß die Geschwindigkeitsän- derung ∆ v ist. Weil v 1 und v 2 gleich groß sind, entspricht ∆ v der Diagonalen des Quadrats, das diese beiden Vektoren aufspannen (siehe Abb. 2). Der Vektor der Geschwindigkeitsänderung zeigt also unter 45° nach links. Die Kraft muss daher in dieselbe Richtung zeigen (Abb. 1). Warum? Das zweite Grundgesetz besagt F = m a . a ist wiederum ∆ v / ∆ t . Daher ist F = m ∆ v / ∆ t und F ~ ∆ v . Die Kraft zeigt also immer in dieselbe Richtung wie die Geschwindigkeitsänderung. b: ∆ v ist v 1 · √ __ 2 = 28,28m/s. Die Geschwindigkeitsänderung ist also größer als die Geschwindigkeit selbst. Die Beschleunigung a = ∆ v / ∆ t = 4713m/s 2 . Aus F = m a folgen für die Kraft 2121N. Das ist also damit zu vergleichen, dass für 6ms die Gewichtskraft einer Masse von rund 212kg auf dem Kopf lastet. Nicht schlecht! Die Beschleunigung ist die Fallbeschleunigung und es gilt a = d 2 h ___ d t 2 = – g . Durch einmalige Integration nach t erhalten wir d h ___ d t = v ( t ) = – g t + C 1 . Die Integrationskonstante C 1 ist die Anfangsge- schwindigkeit v 0 . Wenn du dich einfach in die Tiefe fallen lässt, dann ist v 0 = 0, und die Gleichung vereinfacht sich zu d h ___ d t = v ( t ) = – g t . Die Ge- schwindigkeit nach 5, 10 und 15 Sekunden beträgt –49,05m/s, –98,1m/s und –147,15m/s. Eine zweite Integration liefert – g __ 2 t 2 + C 2 . Die Integrationskonstante C 2 ist die Höhe zum Zeitpunkt des Absprungs, also h 0 . Man erhält daher also die Lösungsfunktion h ( t ) = – g __ 2 t 2 + h 0 . Die Höhe über dem Erdboden nach 5, 10 und 15 Sekunden beträgt 39877,375km, 39509,5km und 38896,375km über der Erdoberfläche. F12 Abb. 1 F13 Abb. 2 F14 541 Tonnen entsprechen 541.000kg und 7607kN entsprechen 7.607.000N. Aus F = m · a folgt a = F __ m = 7.607.000N ________ 541.000kg = 14,06m/s 2 . Das ist die Brutto- beschleunigung. Wenn man die Fallbeschleunigung von 9,81m/s 2 abzieht, bleibt eine Nettobeschleunigung von 4,25m/s über. 2 Schwingungen – Vertiefung Weil die Frequenz (fast) nicht von der Auslenkung abhängig ist. Es scheint eigentlich so, als sei es im Alltag viel wichtiger, dass Schwingungen gedämpft sind, bei Schwingtüren, Autos, Zügen, Straßenbahnen oder bei Gebäuden aller Art. Eine ungedämpfte Schwingung wäre bei einer mechanischen Uhr günstig, weil man diese dann niemals aufziehen müsste. Wenn man stark Gas gibt, führt das nur dazu, dass sich die Räder noch tiefer eingraben. Man kann aber das Auto aus den Mulden „schaukeln“. Man gibt kurz Gas, das Auto rollt ein wenig aus der Mulde und wieder zurück. Am tiefsten Punkt gibt man wieder Gas und so weiter. Wenn das Gasgeben in der Eigenfrequenz der Schaukelbewegung erfolgt (Resonanzfrequenz), kann man die Bewegung immer mehr verstärken – bis man frei ist. Das Rauschen des Meeres in einer Muschel kommt nicht vom Meer (und auch nicht vom eigenen Trommelfell), sondern von den Geräu- schen der Umgebung. Die Muschel verstärkt jene Geräusche, die in ihrer Resonanzfrequenz schwingen. Du kannst auch in einem Staubsauger- rohr das Meer rauschen hören. Wenn du die Länge des Rohres veränderst, dann verändert das Rauschen seine Höhe: Je länger das Rohr, desto tiefer der Ton. Die Schwingungen des Trommelfells kann man nicht hören, weil diese einfach viel zu leise sind. In der Position wie in Abb. 2.21 ist der Ring verkantet und die Reibung zwischen Ring und Stange so groß, dass der Specht haftet. Wenn man ihn in Schwingungen versetzt, dann kippt der Ring hin und her und kann für kurze Zeit rutschen, ehe er wieder haftet. Dadurch bewegt sich der Specht langsam die Stange hinunter. Durch die Gezeitenkraft wird bei Springflut tatsächlich mehr Flüssigkeit in die Pflanzen gezogen – allerdings sind die Wirkstoffe in der Vakuole eingelagert, die davon unberührt bleibt! Ewig lange! Je besser die Übereinstimmung ist, desto weiter auseinan- der liegen die Schwebungen. Auch wenn die Schwebungen eine Minute auseinander liegen, sind sie immer noch da. Um eine perfekte Stimmung zu bekommen, braucht man ewig lang Zeit. Erstens darf die Reibung nicht zu gering sein, weil das Spielzeug sonst rutscht. Die zweite Bedingung ist die, dass die Pendelfrequenz der Beine mit der Links-Rechts-Bewegung des gesamten Tiers überein- stimmt. F15 Abb. 3 F16 F3 F7 F10 F15 F17 F24 F30 F31 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv