Big Bang HTL 3, Schulbuch

Schwingungen – Vertiefung 2 Ausgewählte Kapitel der klassischen Physik (III. Jg., 5. Sem.) 13 Sinusschwingung Es gibt mehrere Möglichkeiten, den Sinus zu erklären. Wir nehmen dazu einen Kreis mit dem Radius 1 (= Einheitskreis ). Zeichne nun einen beliebigen Winkel zwischen 0 und π /2 (= 90°) ein (grüne Linie in Abb. 2.5). Der Sinus dieses Winkels gibt dir dann die Länge der roten Linie an, also des Lots an dieser Stelle. Bei einem Winkel von π /2 ist die rote Linie so lang wie der Radius. Also ist der Sinus von π /2 gleich 1 . Bei einem Winkel von null wird auch die Länge der roten Linie null. Also ist der Sinus von 0 gleich 0 . Rechne mit dem Taschen- rechner nach (du musst dazu den Taschenrechner auf Radian- ten einstellen)! Angenommen, das Pendel befindet sich zur Zeit null in der Ruhelage. Mathematisch lässt sich dann die harmonische Schwin- gung folgendermaßen beschreiben: y ( t ) = A · sin ( 2 π t _ T ) A ist die Amplitude und T die Schwingungsdauer. Mit dieser Glei- chung kannst du ausrechnen, wo sich zu einem beliebigen Zeit- punkt t das schwingende Pendel befindet . Nehmen wir als Beispiel für die Amplitude einen Meter und für die Schwingungsdauer eine bzw. zwei Sekunden. Das Zeit-Weg-Diagramm dieser beiden Schwin- gungen sieht dann wie in Abb. 2.6 aus. Versuche dieses Diagramm mit einer Tabellenkalkulation nachzumachen. i Abb. 2.5: Bei einem Winkel von π /2 wird der Sinus 1 und bei einem Winkel von null wird der Sinus ebenfalls null. Zur besseren Übersicht ist der Winkel etwas kleiner als π /2 (b) bzw. etwas größer als null (c) eingezeichnet. Abb. 2.6 Harmonischer Kaninchenflug Ein Kaninchen, das in ein Loch zwischen den Polen fällt, führt eine harmonische Schwingung aus! Warum? Weil innerhalb der Erde die Gravitation – vereinfacht gesehen – linear abfällt (Abb. 2.7). Im Erdmittelpunkt ist sie null, weil man dort von allen Seiten gleich stark angezogen wird. Also gilt auch hier das Hooke’sche Gesetz, und das Kaninchen pendelt harmonisch wie an einer Spiralfeder. Wie lange braucht das Kaninchen bis zum anderen Pol ( F4 )? Wenn das Kanin- chen und ein Satellit zur selben Zeit am Nordpol starten, dann befinden sie sich immer auf derselben Höhe (Abb. 2.8). Das bedeutet, dass das Kaninchen in der Erdmitte mit 7,9 km/s seine höchste Geschwindigkeit erreicht und für eine volle Schwingung 84 Minuten benötigt, also genau so lange, wie der Satellit für eine volle Umrundung. An der Abbildung kannst du sehr schön sehen, dass eine harmonische Schwingung (wie die des Kaninchens) auf die Projektion einer Kreisbahn zurückgeführt werden kann. So erklärt sich auch der Faktor 2 π in den Schwingungsgleichungen. Wenn du in der Nacht einen von Autoscheinwerfern beleuchteten Radfahrer von vorne oder von hinten betrachtest, dann siehst du die Pedalbahn in der Projektion ( F5 ; Abb. 2.9). Die Pedale beschreiben dann scheinbar eine harmonische Schwingung, die der Bewegung eines Federpendels entspricht. Eine ganze Umdrehung entspricht einer ganzen Schwingungs- periode. i Abb. 2.7: Innerhalb der Erde fällt die Gravitati- onskraft – vereinfacht gesehen – linear ab. Für das Kaninchen gelten daher dieselben Voraussetzungen wie für ein Federpendel. Abb. 2.8: Satellit und Kaninchen befinden sich immer auf derselben geografischen Breite. Abb. 2.9: Die Projektion einer Kreisbahn (a) ergibt eine 1-dimensionale Auf- und Abbewegung (b), die einer harmonischen Schwingung entspricht (siehe auch Abb. 2.8). Die Bewegung der Pedale (b) und des Pendels (c) sind daher identisch. Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv