Big Bang HTL 3, Schulbuch

10 Ausgewählte Kapitel der klassischen Physik (III. Jg., 5. Sem.) Abb. 1.16: Der modellierte Beschleunigungsverlauf: Die a - t -Funktion wurde durch Differenzieren der v - t -Funktion aus Abb. 1.15 ermittelt. Da nun die Beschleunigung bekannt ist, können wir mit Hilfe von F = m · a auch die Kraft ausrechnen, die für diese Beschleunigung nötig ist. Wenn wir von einer Masse von 94 kg ausgehen, erhalten wir die Werte in Abb. 1.17. Die Kraftkurve sinkt gegen null ab. Heißt das, dass Bolt gegen Ende keine Kraft mehr aufwenden muss? Nein, diese Kurve gibt die Nettokraft an, die auf den Schwerpunkt von Bolt wirkt. Mit zunehmendem Tempo steigt die Luftwiderstands- kraft immer mehr an, bis sich beide Kräfte die Waage halten. Abb. 1.17: Der modellierte Kraftverlauf: Es handelt sich dabei um die Nettokraft, die auf den KSP von Bolt wirkt. Aus den Gleichungen „Leistung ist Arbeit pro Zeit“ ( P = W / t ) und „Arbeit ist Kraft mal Weg“ ( W = F · s ) (siehe Kap. 7.1 und 7.5, Band I) erhält man P = W / t = F · s / t = F · v . Damit lässt sich zu guter Letzt noch die Beschleunigungsleistung abschät- zen (Abb. 1.18). Auch hier gilt, dass die Gesamtleistung von Bolt gegen Ende natürlich nicht gegen null sinkt, sondern lediglich die Beschleunigungsleistung. Je größer das Tempo, desto mehr Leistung muss für die Überwindung des Luftwi- derstandes aufgebracht werden. Experiment: Bewegungsanalyse, S. 11 Abb. 1.18: Der modellierte Verlauf der Beschleunigungsleistung Kurvenfit Mexikanische Wissenschaftler nahmen 2013 den Rekordlauf von Bolt unter die Lupe. Sie überlegten, mit welcher Funk- tion die s - t -Werte aus Tab. 1.1 (S. 9) am besten anzupassen sind. Im Prinzip kann man hier alle Funktionen verwenden, etwa auch Polynome höherer Ordnung, die fast jede beliebi- ge Form annehmen können. Gesucht ist jedoch eine Funk- tion, die von vornherein so aussieht wie der s - t -Verlauf. Die Wissenschaftler gingen daher von folgender Überle- gung aus: Bolt ist in der Lage, eine konstante horizontale Kraft F 0 zu erbringen. Auf der anderen Seite wirkt die Luft- widerstandskraft F L , die in diesem Modell sowohl linear, als auch mit dem Quadrat der Geschwindigkeit anwächst ( F L = γ · v + σ · v 2 , γ und σ sind Konstante). Die Nettokraft , mit der sein Schwerpunkt beschleunigt wird, ist daher m · a = F 0 – F L . Durch einige komplizierte mathematische Zwi- schenschritte kommen die Wissenschaftler letztendlich zu dem Schluss, dass folgende s - t -Funktion die Situation am besten modelliert: s ( t ) = A __ k ln ( A + Be – kt _______ A + B ) + B __ k ln ( Ae kt + B ______ A + B ) Durch einen Kurvenfit wurde ermittelt, welche Werte A , B und k annehmen müssen, damit sich diese Modellfunktion am besten an die gemessenen Werte anpasst. Es wurde Folgendes gefunden: A = 110m · s –1 , B = 12,2m · s –1 und k = 0,9 s –1 . Mit diesen Werten und der Funktion oben wurde Abb. 1.14 (S. 9) erstellt. Durch einmaliges Differenzieren (siehe F12 ) erhält man direkt die v - t -Funktion v ( t ) = d s ( t ) ____ d t = AB (1 – e –kt ) _________ A + B e –kt Mit dieser Gleichung wurde Abb. 1.15 (S. 9) erstellt. Durch nochmaliges Differenzieren (siehe F12 ) erhält man schließlich die a - t -Funktion a ( t ) = d v ( t ) ____ d t = d 2 s ( t ) _____ d t 2 = ABk ( A + B ) e –kt ________ ( A + B e –kt ) 2 Mit dieser Gleichung wurde Abb. 1.16 erstellt. Außerdem ist sie die Grundlage für die Abbildungen 1.17 und 1.18. i Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv