Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Arbeitsheft

4 Dynamische Systeme 80. B 81. a = ‒ 4 b = 7 82. y n + 1 – y n = 16 83. (1) a = 1 (2) y n = y 0 + n · b 84. y n + 1 = y n – 0,5 y n = ‒ 0,5n + 4 85. a) y 0 = 900 y n + 1 = ​  1 _ 3 ​· y n b) y n = ​ 2  ​  1 _ 3 ​  3 ​ n ​· 900 y 2 = 100 86. y n + 1 – y n = 0,4 · y n y n + 1 = 1,4 · y n 87. A, D 88. A(t + 1) – A(t) = k ·A(t) 89. C, D 90. y n + 1 – y n = 0,1815 · (2 000 – y n ); y n + 1 = 0,8185 · y n + 363 91. a) W = 2 000 b) a = 0,8 c) b = 780 92. ROULETTE 93. a) y(t) = 10 t + 4 b) y(t) = ‒1 c) y(t) = 7t + 6 d) y(t) = ‒1,3 t + 6,7 94. (1) y’(t) = c · y(t) (2) y(t) = y 0  · ​e​ c·t ​ 95. a) y(t) = ​e​ 4·t ​ b) y(t) = ‒ 2 · ​e​ 1,4·t ​ c) y(t) = 10 – 5 · ​e​ ‒3·t ​ d) 15 – 13 · ​e​ ‒t ​ 96. y(t) = ‒ 0,9 t + 7 y(5) = 2,5 cm 97. a) y’(t) = 20 y(t) = 20 · t b) 1 200  ® c) 2 500min (≈ 42 Stunden) 98. a) y’(t) = 0,12 y(t) y(t) = 1 300 · ​e​ 0,12t​ ​ b) Das geschieht nach ungefähr 6 Jahren. c) ungefähr 4 316,15€ 99. a) Proportiona ® itätsfaktor … 1,38628; y 0 = 0,05m y’(t) = 1,38628 · y(t) b) y(t) = 0,05 · e 1,38628·t c) t ≈ 144 Monate 100. y’(t) = 0,36 · (37 – y(t)) y(t) = 37 – 38 · ​e​ ‒0,36t​ ​ 101. a) m = ​  5 _  149 ​ y’(t) = ​  5 _  149 ​· (30 – y(t)) b) y(t) = 30 – 29,8 · ​e​ ‒ ​  5 _  149  ​t ​ c) t ≈ 3,25 Jahre 102. a) b) 103. f’(t) = ​  ‒W·b·​e​ ‒W·k·t ​(‒W·k) ____   ​(1 + b· ​e​ ‒W·k·t ​)​ 2 ​ ​= ​  W·W·k·b·​e​ ‒W·k·t ​ ___  ​(1 + b· ​e​ ‒W·k·t ​)​ 2 ​ ​= = ​  W·W·k·(1 + ​e​ ‒W·k·t ​– 1) ____   ​(1 + b· ​e​ ‒W·k·t ​)​ 2 ​ ​= ​  k·W·(W·(1 + ​e​ ‒W·k·t ​) – W) ____  ​(1 + b· ​e​ ‒W·k·t ​)​ 2 ​ ​= = k · ​  W __  1 + b· ​e​ ‒W·k·t ​ ​· ​ 2 W – ​  W __  1 + b· ​e​ ‒W·k·t ​ ​ 3 ​ d.h. f’(t) = k · f(t) · (W – f(t)) 104. a) G ® eichsinnige Wirkung: Eine Steigerung der schu ® ischen Leistungen führt zu einer Steigerung des Se ® bstvertrauens. Umgekehrt führt mehr Se ® bstvertrauen oft auch zu einer Verbesserung der Leistungen. Vermehrte Inanspruchnahme von Nachhi ® fe führt in den meisten Fä ®® en auch zu einer Verbesserung der Leistungen in der Schu ® e. Mehr Se ® bstvertrauen kann zu einer vermehrten Inanspruchnahme von Nachhi ® fe führen, um den positiven Effekt von besseren Leistungen beizubeha ® ten. Mehr Nachhi ® fe führt aber auch zu einer Steigerung der finanzie ®® en Be ® astung. Gegensinnige Wirkung: Bessere Leistungen in der Schu ® e bzw. eine Zunahme der finanzie ®® en Be ® astung führen oft zu einer Reduktion der Nachhi ® fe. b) 1) Eska ® ierende Rückkopp ® ung: Durch Nachhi ® fe verbessern sich die Schu ®® eistungen. Dadurch wächst das Se ® bstvertrauen, wodurch man wiederum öfter zur Nachhi ® fe geht, um diesen Effekt beizubeha ® ten. Bessere schu ® ische Leistungen führen zu mehr Se ® bstvertrauen, was wieder zu besseren schu ® ischen Leistungen führt. 2) Stabi ® isierende Rückkopp ® ung: z.B. Die Nachhi ® fe ist meist kostenpf ® ichtig. Daher steigt die finanzie ®® e Be ® astung in den Fami ® ien. Wird die Be ® astung zu groß, muss die Nachhi ® fe reduziert werden. Steigen durch vermehrte Nachhi ® fe die Leistungen, führt dies oft zu einer Reduktion der Nachhi ® festunden. 105. a) b) exponentie ®® es Zu- bzw. Abnahmemode ®® 106. Bestandsgröße: Anzah ® der Hasen F ® ussraten: Zuwachs, Abnahme Hi ® fsgrößen: Wachstumsgrenze, Freiraum, Wachstumsfaktor Dem Zuwachs bei der Hasenpopu ® ation pro Zeiteinheit ® iegt ein ® ogistisches Wachstumsmode ®® zugrunde, der Abnahme ein ® ineares. Der Hasenzuwachs erfo ® gt pro Zeiteinheit proportiona ® zur vorhandenen Popu ® ation und zum vorhandenen Freiraum wohingegen sich pro Zeiteinheit die Anzah ® der Hasen jewei ® s um dense ® ben Wert verringert. 107. a) A b) s’’(t) = ‒ ω 2  · r · sin( ω t + φ )  w  s’(t) = ω · r · cos( ω t + φ ) w  s(t) = r · sin( ω t + φ ) g(t) = r · cos( ω t + φ 1  )  w g’(t) = ‒ ω · r · sin( ω t + φ 1  )  w g’’(t) = ‒ ω 2  · r · cos( ω t + φ 1  ) = ‒ ω 2  · g(t) k(t) = r 1  · sin( ω t + φ 2  ) + r 2  · cos( ω t + φ )  w k’(t) = ω · r 1  · cos( ω t + φ 2  ) – ω · r 2  · sin( ω t + φ )  w k’’(t) = ‒ ω 2  · r 1  · sin( ω t + φ 2  ) – ω 2  · r 2  · cos( ω t + φ ) =    = ‒ ω 2  · k(t) c) s(t) = 2 π · sin(4 π t) t y’(t) 1 2 3 4 5 6 – 1 1 2 3 4 – 1 0 K t y’(t) 1 2 3 4 5 6 – 1 1 2 3 4 – 1 0 K Tierbestand Zunahme Abnahme c v 91 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv