Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Arbeitsheft

1 Stammfunktionen 1. a) A, B, C, E b) A, C, E 2. A, B, C, D, G, H 3. a) x + c b)   x π + 1 _ π + 1 + c c)   x 1000001 __  1000001 + c d)   x ‒2 _  ‒2 + c = ‒   1 _  x 2 + c e)   417 _ 656 · x   656 _ 417 + c f)   1000 _ 239  · x   239 _  1000 + c g)   x n + 3 _ n + 3 + c h)   x n – 2 _ n – 2 + c 4. a) k · x + c b) s · x + t · x + c = x · (s + t) + c c) π · x + c d)   3 x _  ® n(3) + c e)   1,2 x _  ® n(1,2) + c f)   2    5 _ 8   3 x _  ® n 2    5 _ 8   3 + c 5. a) F(x) =   x 4 _  4 +   2x 3 _ 3  –   5x 2 _ 2  + 7x + c b) F(x) =   5x 8 _ 8  +   3x 5 _ 5  – x 2 + c c) F(x) = c 6. z.B. F(x) =   7x m + 1 _ m + 1  –   5x n – 2 _ n – 2  +   2x j + 2 _ j + 2  + p x + 1 F(x) =   7x m + 1 _ m + 1  –   5x n – 2 _ n – 2  +   2x j + 2 _ j + 2  + p x + 2 F(x) =   7x m + 1 _ m + 1  –   5x n – 2 _ n – 2  +   2x j + 2 _ j + 2  + p x + 3 7. AK, MF, B I, E S, CQ, J P, GO, TH, DR 8. :    (f(x) – g(x))dx = :    (3x n + 3 – 5x n )dx =   3x n + 4 _  n + 4  –   5x n + 1 _ n + 1  + c :    f(x)dx – :    g(x)dx = :    (5x n + 3 – 4x n )dx – :    (2x n + 3 + x n )dx = =   5x n + 4 _ n + 4  –   4x n + 1 _ n + 1  – 2    2x n + 4 _ n + 4  +   x n + 1 _ n + 1   3 =   3x n + 4 _ n + 4  –   5x n + 1 _ n + 1  + c 9. 1 F, 2 E, 3D, 4B 10. f(x) = x 3 – 27x + 54 11. f(x) = 0,125 (x 3 – 15 x 2 + 63 x – 49) 12. 1) s 1 (t) = 4t 2 + c; Diese Funktion gibt den zurückge ® egten Weg im gegebenen Interva ®® an. 2) s(t) = 4t 2 + 2 3) 96 w In diesem Interva ®® wurden 96m zurückge ® egt. 13. 1) A(t) = 50 · e 0,3465t + c 2) A(t) = 50 ·1,41 t 3) Am Beginn der Beobachtung waren 50 Bakterien vorhanden. Diese vermehren sich um ca. 41% pro Stunde. 4) 212,03 In dieser Zeitspanne kamen ca. 212 Bakterien dazu. 14. a) b) 15. A, C, E 16. A, D, E 17. A, D, E 18. A, C, E 19. a) :    (2 x – 4) 11 dx =   (2x – 4) 12 __ 24  + c u = 2 x – 4 u’ = 2 dx =   du _ 2  b) :    (5 x – 1) 3 dx =   (5x – 1) 4 __ 20  + c u = 5 x – 1 u’ = 5 dx =   du _ 5  c) :    1 __  (4x – 5) 2 dx = ‒   1 __  16x – 20 + c u = 4 x – 5 u’ = 4 dx =   du _ 4  20. 1)   x 2 _  2 e x – :    x 2 _  2 e x dx + c Diese Methode könnte man immer weiter fortsetzen und würde nie ein integra ® freies Ergebnis erha ® ten, da das Integra ® von f nie wegfä ®® t. 2) e x · x – e x + c 21. a) C, D b) V(T) =   2,5 _ T  0,417 Liter 2 Der Hauptsatz der Differentia ® - und Integra ® rechnung 22. a) 1) 2) 3) b) f(0) = 0 f(1) = 2,1 f(2) = 3,6 f(3) = 4,5 f(4) = 4,8 f(5) = 4,5 f(6) = 3,6 f(7) = 2,1 f(8) = 0 c) O 2 = 38,4 O 4 = 33,6 U 8 = 20,4 d) U 8 ist dem F ® ächeninha ® t am nächsten, da hier die Untertei ® ung am feinsten ist. 23. C 24. U 4 = 228 U 8 = 254 O 2 = 432 O 4 = 364 x y 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 –4 –5 –3 –2 – 1 0 f x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 8 –2 –4 0 f x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 – 1 0 f x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 – 1 0 f x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 – 1 0 f 88 Lösungen Anhang Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv