Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Arbeitsheft

c) Der proportiona ® e Satz von Schma ® enbach kann herangezogen werden, um einen minima ® en Verkaufspreis für die Ware festzu ® egen, wobei die Fixkosten der Produktion unberücksichtigt b ® eiben. Begründen Sie mit mathematischen Argumenten, dass der Verkaufspreis einer Ware bei einer ® inearen Kostenfunktion nicht unter dem proportiona ® en Satz von Schma ® enbach ® iegen so ®® te! Man spricht von einer Kostendegression, wenn der Kostenzuwachs bei einer Erhöhung der produzierten Stückzah ® immer k ® einer wird. Man spricht von einer Kostenprogression, wenn der Kostenzuwachs bei einer Erhöhung der produzierten Stückzah ® immer größer wird. Bei der vor ® iegenden Kostenfunktion gibt es eine Ste ®® e x, an der das Wachstum der Kosten funktion von einem progressiven in einen degressiven Ver ® auf umsch ® ägt. Verwenden Sie die Differentia ® rechnung, um diese Ste ®® e zu berechnen! 4. Crown And Anchor Das Spie ® „Crown And Anchor“ („Krone und Anker“) ist ein einfaches Würfe ® spie ® mit drei Würfe ® n, das im 18. Jahrhundert von britischen See ® euten gerne gespie ® t wurde. Die drei Würfe ® zeigen nicht die Zah ® en von 1 bis 6, sondern sechs Symbo ® e: eine Krone, einen Anker und die vier Kartensymbo ® e Karo, Pik, Kreuz und Herz. Diese Symbo ® e sind auch auf einem Spie ® p ® an abgebi ® det. Die Spie ® er wetten auf ein Symbo ® , indem sie Münzen auf den Spie ® p ® an ® egen. Ansch ® ießend werfen sie die drei Würfe ® . Erscheint das Symbo ® , auf das sie gewettet haben, auf keinem der Würfe ® , ist der Einsatz ver ® oren. Wenn das richtige Symbo ® auf mindestens einem der Würfe ® erscheint, bekommen sie ihren Einsatz p ® us ihren Einsatz mu ® tip ® iziert mit der Anzah ® der erschienenen richtigen Symbo ® e ausbezah ® t. Aufgabenste ®® ung: a) Ein Seefahrer setzt auf „Anker“. Berechnen Sie die Wahrschein ® ichkeit, dass das Symbo ® „Anker“ auf mindestens zwei Würfe ® n erscheint! Erk ® ären Sie, was der Ausdruck 2   3  1   3 in der Rechnung 2   3  1   3 · 2   1  _ 6   3 1 · 2   5  _ 6   3 2 bedeutet! b) Ein Seefahrer setzt ein Pfund auf „Krone“. Die Zufa ®® svariab ® e X beschreibt den Gewinn bzw. Ver ® ust des Seefahrers in Pfund bei einer Runde von „Crown And Anchor“. Erste ®® en Sie eine Tabe ®® e für die Wahrschein ® ichkeitsfunktion der Zufa ®® svariab ® en X und berechnen Sie ihren Erwartungswert! X P(X) Ist der Erwartungswert für ein Spie ® nu ®® , so kann man das Spie ® a ® s „fair“ bezeichnen. Bei den oben beschriebenen Moda ® itäten ist das Spie ® „Crown And Anchor“ nicht fair. Um es fair zu machen, so ®® der Betrag, den man für ein dreifaches Erscheinen des gesetzten Symbo ® s erhä ® t, angepasst werden. Berechnen Sie, we ® chen Betrag man für ein dreifaches Erscheinen des Symbo ® s „Krone“ bei einem Einsatz von einem Pfund erha ® ten muss, damit man „Crown And Anchor“ a ® s „faires“ Spie ® bezeichnen kann! Runden Sie das Ergebnis auf Ganze! c) Die Wahrschein ® ichkeit bei einer Runde „Crown And Anchor“ zu gewinnen beträgt etwa 42%. Ein Seefahrer spie ® t im Laufe einer Reise 500 Runden. Geben Sie eine Forme ® für die Wahrschein® ichkeitsvertei ® ung an, mit der man die Wahrschein ® ichkeiten berechnen kann, von 500 Runden r ma ® einen Gewinn zu erzie ® en und begründen Sie Ihre Antwort! Ermitte ® n Sie die Anzah ® der Runden, die der Seefahrer spie ® en müsste, damit die Wahrschein® ichkeit bei 300 Runden einen Gewinn zu erzie ® en mindestens 90% beträgt! Verwenden Sie die Approximation der Binomia ® vertei ® ung durch die Norma ® vertei ® ung! 87 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv