Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Arbeitsheft

Tei ® 2 1. G ® asfaserkabe ® A ® s A ® ternative zu e ® ektrischem Strom wurde im Laufe der ® etzten Jahre immer mehr das Licht zur Übertragung von Informationen verwendet. Licht wird dabei durch so genannte G ® asfaserkabe ® ge ® eitet, wodurch eine deut ® iche Erhöhung der Übertragungsgeschwindigkeit erreicht wird. Ob die Information eines Senders vom Empfänger verstanden werden kann, hängt von der Intensität des Lichts ab, die beim Empfänger noch vorhanden ist. Darunter versteht man die Energie, die pro Sekunde und pro Quadratmeter der Querschnittsf ® äche des Kabe ® s übertragen werden kann. Aufgabenste ®® ung: a) In einem qua ® itativ hochwertigen G ® asfaserkabe ® nimmt die Intensität des Lichts auf einer Strecke von 36 km um die Hä ® fte ab. Die Lichtintensität I (in Jou ® e pro Sekunde und Quadratmeter, J/(sm 2 )) beim Durchgang durch ein G ® asfaserkabe ® der Länge d (in Ki ® ometer) ® ässt sich durch eine Exponentia ® funktion der Form I(d) = c · ​e​ λ ·d ​beschreiben (c * ℝ + , λ * ℝ ). Geben Sie die Funktionsg ® eichung für diese Exponentia ® funktion an, wenn die Lichtintensität am Beginn der Übertragung 15 J/(sm 2 ) beträgt! I(d) = Berechnen Sie, wie weit Lichtverstärker höchstens voneinander entfernt sein dürfen, wenn die Intensität des zu verstärkenden Lichts noch wenigstens 20% der Intensität des eingestrah ® ten Lichts aufweisen muss! b) Die Funktion I beschreibt die Lichtintensität im G ® asfaserkabe ® in Abhängigkeit von der Entfernung d vom Sender und kann durch eine Exponentia ® funktion der Form I(d) = I 0  · b d (I 0  , b * ℝ + , 0 < b < 1) dargeste ®® t werden. Zeigen Sie, dass die momentane Änderungsrate der Lichtintensität I für jede Entfernung d proportiona ® zur Lichtintensität in dieser Entfernung ist! Begründen Sie mit Hi ® fe der Funktionsg ® eichung der zweiten Ab ® eitung von I, dass die Abnahme der Lichtintensität mit steigendem Abstand zum Sender immer geringer wird! c) Die Datenübertragung mitte ® s G ® asfaserkabe ® gi ® t a ® s zukunftsweisend und die Anzah ® der Haus­ ha ® te, für die eine so ® che Verbindung zur Verfügung steht, steigt ® aufend. Das bestätigt auch der Branchenverband VATM, der im Oktober 2015 eine Studie vor ® egte, we ® che die Anzah ® der Haus­ ha ® te, für die die G ® asfasertechnik zur Verfügung steht, mit der Anzah ® der Hausha ® te verg ® ich, die die Technik auch tatsäch ® ich nutzen. In der nachstehenden Abbi ® dung sind die Ergebnisse der Studie zusammengefasst. inaktive Haushalte aktive Haushalte 2010 per Glasfaser erreichbare und aktive Haushalte 2011 2012 2013 2014 2015 (Schätzung) 255 Tsd. 39,2 % 395 Tsd. 60,8 % 296 Tsd. 40,5 % 434 Tsd. 59,5 % 343 Tsd. 35,1 % 633 Tsd. 64,9 % 367 Tsd. 27,2 % 981 Tsd. 72,8 % 452 Tsd. 25,8 % 1298 Tsd. 74,2 % 510 Tsd. 24,3 % 1590 Tsd. 75,7 % 2100 Tsd. 100 % 1750 Tsd. 100 % 1348 Tsd. 100 % 976 Tsd. 100 % 730 Tsd. 100 % 650 Tsd. 100 % 71 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv