Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Arbeitsheft

136. Eine Binomia ® vertei ® ung mit den Parametern n und p kann unter bestimmten Voraussetzungen durch eine Norma ® vertei ® ung mit den Parametern μ und σ approximiert werden. Kreuze in diesem Zusammenhang die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Die Binomia ® vertei ® ung ist eine stetige, die Norma ® vertei ® ung eine diskrete Vertei ® ung.  B Die Approximation ist nur ausreichend gut, wenn ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​< 3.  C σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​  D In der Praxis gi ® t die Approximation a ® s ausreichend gut, wenn fo ® gende Bedingung erfü ®® t ist: n · p · (1 – p) º 9 oder σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​º 3.  E Die Approximation ist nur ausreichend gut, wenn n · p · (1 – p) > 3.  Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 137. Eine Maschine der Firma To ®® y erzeugt Fi ® zstifte, von denen erfahrungsgemäß 10% defekt sind. Die Firma verwendet die Norma ® vertei ® ung zur Qua ® itätssicherung, indem für eine zufä ®® ig entnommene Stichprobe von 500 Stück die Anzah ® der defekten Stifte a ® s Zufa ®® svariab ® e X betrachtet wird. a) Für die Beurtei ® ung der Produktionsqua ® ität wird ein bestimmter Wert t festge ® egt, für den P(X ª t) = 0,95 ge ® ten so ®® , d. h. die Wahrschein ® ichkeit, dass die Anzah ® an defekten Stiften in der Stichprobe k ® einer a ® s t ist, so ®® 95% sein. Bestimme den Wert t für die angegebene Stichprobe. b) Bei Qua ® itätssicherungen wird in anderen Fä ®® en auch mit symmetrischen Interva ®® en um den Erwartungswert μ gearbeitet. Der Abstand ε vom Erwartungswert μ wird dabei oft in Vie ® fachen der Standardabweichung σ angegeben, a ® so ε = k · σ , wobei k * ℕ . Man sucht nun ein Interva ®® [ μ  –  ε ; μ  +  ε ], sodass beispie ® sweise P( μ – ε ª μ ª μ + ε ) = 0,95 ist. Zeige mit Hi ® fe der Standardisierungsforme ® , dass Φ (k) – Φ (‒ k) = 0,95, wobei Φ die Vertei ® ungsfunktion der Standardnorma ® vertei ® ung ist. c) Fa ®® s die Standardabweichung σ der binomia ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en verhä ® tnismäßig k ® ein ist, so kann die Näherung der Binomia ® vertei ® ung durch die Norma ® vertei ® ung mit Hi ® fe einer Maßnahme verbessert werden, die man „Stetigkeitskorrektur“ nennt. Wi ®® man beispie ® sweise die Wahrschein® ichkeit berechnen, dass die binomia ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e X im Interva ®® [x 1  ; x 3  ] ® iegt, so verwendet man bei einer Näherung mit der Norma ® vertei ® ung das Interva ®® [x 1 – 0,5; x 3 + 0,5]. Man zäh ® t a ® so zur oberen Interva ®® grenze 0,5 dazu und zieht von der unteren 0,5 ab. In der obigen Abbi ® dung sind die verschiedenen Wahrschein ® ichkeiten, die sich aufgrund der Binomia ® vertei ® ung sowie der Norma ® vertei ® ung ergeben, a ® s F ® ächeninha ® te unter den jewei ® igen Dichtefunktionen dargeste ®® t. Erk ® äre mit Hi ® fe der Abbi ® dung, warum sich die Näherung der Binomia ® vertei ® ung durch die Norma ® vertei ® ung mit der Stetigkeitskorrektur verbessert. Ermitt ® e die Wahrschein ® ichkeit, dass sich in der oben genannten Stichprobe zwischen 48 und 56 defekte Stifte befinden. Verwende die Stetigkeitskorrektur. WS 3.4 Typ 2 x f(x) x 1 0,5 x 3 x 3 + 0,5 x 1 – 0,5 x 2 0,1 0,2 0,3 0 Normalverteilte Zufallsvariablen 48 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv