Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Arbeitsheft

Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 114. Bei einem G ® ücksrad beschreibt die Zufa ®® svariab ® e X den Winke ® im Bogenmaß, den man von einer festge ® egten Nu ®® position zu der Ste ®® e messen kann, an der das G ® ücksrad stehenb ® eibt (siehe Skizze). a) Gib die Vertei ® ungsfunktion P(X ª x) für eine Drehung des G ® ücksrads an. Gib eine Dichtefunktion f an, we ® che die Wahrschein ® ichkeiten der Vertei ® ungsfunktion korrekt beschreibt. b) Damit Funktionen a ® s Dichtefunktionen von Zufa ®® svariab ® en ge ® ten, muss die Bedingung ​  :  ‒ • ​  + • ​  f(x)​dx = 1 erfü ®® t sein. Um diese Eigenschaft sicherzuste ®® en, werden Funktionen oft „normiert“. Das bedeutet, es wird ein Parameter im Funktionsterm der Funktion so angepasst, dass die Eigenschaft erfü ®® t ist. Die Dichtefunktion f einer Zufa ®® svariab ® en X ist gegeben durch f(x) = ​ {  ​  a · x + 0,25 für 0 ª x ª 1 0 sonst  ​ ​ ​ . Bestimme den Parameter a so, dass f die Dichtefunktion einer Zufa ®® svariab ® en ist und berechne den Erwartungswert von X. c) Für eine Dichtefunktion f und eine Vertei ® ungsfunktion F gi ® t in einem Interva ®® [a; b] die Eigenschaft: ​ :  a ​  b ​ f(x)​dx = F(b) – F(a) = P(a ª X ª b) Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an! A Je größer der Unterschied der Funktionswerte der Vertei ® ungsfunktion F zwischen den Ste ®® en a und b ist, desto größer ist die Wahrschein ® ichkeit, dass die Zufa ®® svariab ® e Werte in [a; b] annimmt.  B Für ein k ® eines Interva ®® [x; x + h] gi ® t: Je größer der Funktionswert der Dichtefunktion f an der Ste ®® e x ist, desto geringer ist der Unterschied der Funktionswerte der Vertei ® ungs­ funktion in [x; x + h].  C Je k ® einer die Wahrschein ® ichkeit ist, dass die Zufa ®® svariab ® e X zwischen a und b ® iegt, desto k ® einer ist auch der Unterschied der Funktionswerte der Vertei ® ungsfunktion zwischen den Ste ®® en a und b.  D Für ein k ® eines Interva ®® [x; x + h] gi ® t: Je k ® einer der Funktionswert der Dichtefunktion f an der Ste ®® e x ist, desto k ® einer ist auch die Wahrschein ® ichkeit, dass die Zufa ®® svariab ® e X in [x; x + h] ® iegt.  E Für ein k ® eines Interva ®® [x; x + h] gi ® t: Je geringer die Wahrschein ® ichkeit ist, dass die Zufa ®® svariab ® e X in [x; x + h] ® iegt, desto größer ist der Funktionswert der Dichtefunktion f an der Ste ®® e x.  Typ 2 2 π X Nullposition 39 Stetige Zufallsvariablen |  Vernetzung – Typ-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv