Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Arbeitsheft

Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 107. Wirkt auf einen Körper eine Kraft, we ® che proportiona ® zur Aus ® enkung aus seiner Ruhe ® age ist, entsteht eine harmonische Bewegung. Gegeben sind die E ® ongation s (beschreibt die Aus ® enkung der Schwingung zum Zeitpunkt t) einer harmonischen Schwingung mit s(t) = r · sin( ω t + φ ) sowie die Differentia ® g ® eichung s’’(t) = ‒ ​ ω ​ 2 ​· s(t), wobei r (Amp ® itude) die maxima ® e Aus ® enkung der Schwingung aus der Ruhe ® age, ω die Winke ® geschwindigkeit und φ den Winke ® angibt. a) Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Die Differentia ® g ® eichung enthä ® t eine Ab ® eitung der Funktion s(t).  B A ®® e Lösungen von Differentia ® g ® eichungen sind ree ®® e Zah ® en.  C Die Funktion s(t) erfü ®® t die Differentia ® g ® eichung f’’(x) = ‒ f(x).  D Ist s’’(t) = 0, so ist die Lösung eine nicht ® ineare Funktion.  E Die Differentia ® g ® eichung beschreibt ein ® ineares Wachstum.  b) Zeige, dass die Funktion s(t) eine Lösung der angegebenen Differentia ® g ® eichung ist. Zeige, dass auch die Funktionen g(t) = r · cos( ω t + ​ φ ​ 1  ​) und k(t) = ​r​ 1 ​· sin( ω t + ​ φ ​ 2  ​) + ​r​ 2 ​· cos( ω t + φ ) Lösungen der Differentia ® g ® eichung sind. c) Löse fo ® gende Differentia ® g ® eichung: s’’(t) = ‒16 π 2  · s(t) mit s’(t) = 0 und s(0) = 2 π . Typ 2 t = Zeit s(t) = Elongation T = Schwingungsdauer y 0 = Amplitude 35 Dynamische Systeme |  Vernetzung – Typ-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv