Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Arbeitsheft

Kontinuier ® iches beschränktes Mode ®® 100. Ein Speiseeis (‒1° C) wird serviert und in einem Gastgarten bei 37° C verzehrt. Die momentane Änderungsrate der Temperatur des Speiseeises ist zu jedem be ® iebigen Zeitpunkt (in Minuten) rund 36% der Differenz zwischen der Umgebungstemperatur und der aktue ®® en Temperatur des Eises. Gib eine Differentia ® g ® eichung und deren Lösung an, we ® che die Temperatur y(t) des Eises nach t Minuten mode ®® iert. y’(t) = y(t) = 101. Eine bestimmte Baumart wird höchstens 30m hoch. Beim Einpf ® anzen haben die Jungbäume eine Höhe von 0,2m. Die Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt des Einpf ® anzens beträgt für diese Baumart 1m/Jahr. Die momentane Änderungsrate der Baumhöhe ist zu jedem be ® iebigen Zeitpunkt (in Jahren) direkt proportiona ® zum noch vorhandenem Freiraum. a) Ermitt ® e den Proportiona ® itätsfaktor m und gib eine Differentia ® g ® eichung für die Änderung der Baumhöhe zum Zeitpunkt t an. m = y’(t) = b) Bestimme die Lösung der Differentia ® g ® eichung. y(t) = c) Nach wie vie ® en Jahren hat der Baum eine Höhe von 20m erreicht? t ≈ Kontinuier ® iches ® ogistisches Mode ®® 102. Gegeben ist die Differentia ® g ® eichung y’(t) = a · y(t) · (K – y(t)), wobei a der Proportiona ® itätsfaktor und K – y(t) der noch vorhandene Freiraum ist. Gib den Graphen einer typischen Lösungsfunktion an, wenn  a) y 0 < K  b) y 0 > K ist. a) b) 103. Zeige, dass f(t) = ​  W __  1 + b · ​e​ ‒W·k·t ​ ​die Lösung der Differentia ® g ® eichung f’(t) = k · f(t) · (W – f(t)) ist. t y’(t) 1 2 3 4 5 6 – 1 1 2 3 4 – 1 0 K t y’(t) 1 2 3 4 5 6 – 1 1 2 3 4 – 1 0 K 33 Dynamische Systeme |  Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv