Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Arbeitsheft

88. Es sei A(t) die Anzah ® der Bakterien in einem Küh ® schrank zum Zeitpunkt t (in Sekunden). Die mitt ® ere Änderungsrate der Bakterienanzah ® im Zeitinterva ®® [t; t + 1] ist direkt proportiona ® zu A(t) mit dem Proportiona ® itätsfaktor k. Beschreibe diesen Sachverha ® t mit Hi ® fe einer Differenzeng ® eichung. Weitere diskrete Mode ®® e – y n + 1 = a · y n + b, a > 0, b ≠ 0 89. Die Popu ® ationsentwick ® ung einer ausgewäh ® ten Wasserschweinherde kann mit fo ® gender Differenzeng ® eichung beschrieben werden: y n + 1 = y n + k · (W – y n ), k ist konstant mit 0 < k < 1, W – y n ist der Freiraum zum Zeitpunkt n, n * ℕ . Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Der Zuwachs des Bestandes ist direkt proportiona ® zur momentanen Tieranzah ® .  B Die Tieranzah ® ® ässt sich mit dieser Forme ® zu jedem Zeitpunkt t * ​ℝ​ + ​ermitte ® n.  C Mit zunehmender Zeit wird der jähr ® iche Zuwachs bei den Wasserschweinen immer geringer.  D Der jähr ® iche Zuwachs ist direkt proportiona ® zum Freiraum.  E Die G ® eichung beschreibt ein exponentie ®® es Wachstumsmode ®® .  90. Ein Unternehmen wi ®® in einer Stadt ein neues Küchengerät, das in noch keinem Hausha ® t vorhanden ist, einführen. Man beginnt in einem Stadttei ® mit 2 000 Hausha ® ten einen Testverkauf. y n beschreibt die Anzah ® der verkauften Geräte nach n Wochen. Die Firma rechnet für die Entwick ® ung der Anzah ® der verkauften Küchengeräte mit dem Proportiona ® itätsfaktor k = 18,15%. Ste ®® e für y n eine Differenzeng ® eichung der Form ​y​ n + 1 ​– ​y​ n ​= k · (W – ​y​ n ​) auf und bringe diese in die Form ​y​ n + 1 ​= a · ​y​ n ​+ b. 91. Bestimme die Wachstumsgrenze bzw. den feh ® enden Parameter für das beschränkte Wachstumsmode ®® . a) y n + 1 = 0,4 · y n + 1 200; y 0 = 500 W = b) y n + 1 = a · y n + 500; y 0 = 350; W = 2 500 a = c) y n + 1 = 0,6 · y n + b; y 0 = 400; W = 1 950 b = AN 1.4 Dynamische Systeme 30 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv