Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft

220. A, C, D 221. i 2 1 i 100 i 29 i 5 i ‒3 i i ‒70 ‒ i i 0 1 i ‒1 ‒ i i 123 i ‒89 i ‒1 ‒ i i ‒2 i 83 i 57 ‒ i i i 12 ‒1 i ‒45 ‒ i 1 1 i 4 i ‒1 222. a) 3 + 12 i b) 2 – 8 i c) ‒ 3 i d) ‒ 4 + 4 i e) 8 f) ‒1,5 + 7 _ 10 i 223. a) (‒ 9) – 2 i b) 13 – 3 i c) ‒ 23 + i d) ‒ 2 + 9 i e) 14 – 7i f) ‒14 i + 6 224. z 3 = ‒ 3,5 + i; z 4 = ‒ 0,5 – 7,5 i; z 5 = ‒ 9 + 2 i; z 6 = ‒1,25 + 1,75 i 225. (i) ‒ 2; (ii) 8; (iii) 40; (iv) 31 – 29 i 226. a) (i) ‒ 42 + 66 i, (ii) ‒ 0,36 – 0,74 i b) (i) ‒120 + 50 i, (ii) ‒ 0,35 – 0,85 i 227. a) 1) Im Nenner muss bei der Erweiterung 3 + 2 i stehen, 2) man muss mit ‒ 2 oder mit ‒7 mu ® tip ® izieren, 3) 7· 3 statt 7· 2, 4) 3 2 + 2 2 ≠ 5 2 ; Lösung: 1 _ 13 + 31 i _ 13 b) 1) man muss mit ‒ 4 – 3 i erweitern, nicht mit 4 – 3 i, 2) (‒ 4 i) · (‒ 3 i) = ‒12, 3) Man darf nicht durch ‒7 kürzen; Lösung: i 228. zwei konjugiert komp ® exe Lösungen a > 0 und b > 0 229. 1D; 2F; 3A; 4E 230. AUGUST 231. 1C; 2A; 3D; 4B; 5F; 6E 232. a) z.B. x 2 – 4 x – 12 = 0 b) z.B. x 2 – 6 x + 10 = 0 c) z.B. x 3 – 7x 2 – 14 x + 48 = 0 d) z.B. x 3 + x 2 + x + 1 = 0 e) z.B. x 4 – 20 x 2 + 64 = 0 f) z.B. x 4 + 15 x 2 – 16 = 0 233. x 3 – 7x 2 + 19 x – 13 = 0 genau eine Lösung 234. x 1 = ‒ 6 x 2 = 4 + 3 i x 3 = 4 – 3 i 235. Berechne (x – x 1 ) (x – x 2 ) (x – x 3 ) und ® ies die Koeffizienten ab. 236. b = ‒ x 1 – x 2 – x 3 – x 4 c = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 d = ‒ x 1 x 2 x 3 – x 1 x 2 x 4 – x 1 x 3 x 4 – x 2 x 3 x 4 e = x 1 x 2 x 3 x 4 237. E 238. Führt der Ansatz a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 0 = (x – x 1 ) (b n‒1 x n‒1 + b n‒2 x n‒2 + … + b 0 ) zu einem Ergebnis für die Koeffizienten b i , ® ässt sich der Linearfaktor (x – x 1 ) abspa ® ten. Mu ® tip ® iziert man die rechte Seite der G ® eichung aus, und verg ® eicht die Koeffizienten, entsteht ein System von n G ® eichungen für die n Koeffizienten b i . Daraus ergeben sich: b n – 1 = a n b n – 2 = a n x 1 + a n – 1 b n – 3 = a n x 1 2 + a n – 1 x 1 + a n – 2 … b 0 = a n x 1 n – 1 + a n – 1 x 1 n – 2 + a n – 2 x 1 n – 3 + … + a 2 x 1 + a 1 T(x) = b n – 1 x n – 1 + b n – 2 x n – 2 + … + b 0 ist ein Term (n – 1)-ten Grades. 239. a – 2; b – 4; c – 2; d – 1; e – 5, f – 3; g – 4; h – 2; i – 6; j – 1,2; k – 5, e – 5 240. 1E, 2D, 3C, 4B 241. a) b) 242. Rea ® tei ® ‒ 3,5 und dem Imaginärtei ® ‒ 8,4 (9,1 1 247,38°) 243. 1) z 1 = ( 9 __ 113 I318,81°); z 2 = (5 1 233,13°) 2) z 1 + z 2 = 5 – 11 i; z 2 – z 1 = ‒11 + 3 i; 3) z 1 + z 2 = 5 – 11 i = ( 9 __ 146; 294,44°) ≠ ( 9 __ 113 + 5; 318,81° + 233,13°); z 2 – z 1 = ‒11 + 3 i = ( 9 __ 130; 164,74°) ≠ (5 – 9 __ 113; 233,13° – 318,81°) 244. CUPCAKE 245. z 1 4 = ‒119 + 120 i = (169 1 134,8°); z 2 3 = ‒ 64 = (64 1 180°) 246. A = (0,512 1 150°), B = (4 1 180°), C = (3,375 1 261°), D = (1 1 50°) 247. 1,37 + 0,37i 1 + i ‒ 0,37 – 1,37i ‒1 + i ‒1,37 + 0,37i 0,37 – 1,37i 248. a) ±1; ± i b) ± 2; ± 2 i c) ± 3; ± 3 i 249. a) E b) e i π = cos( π ) + i · sin( π) = ‒1 + i · 0 = ‒1 w e i π + 1 = 0 c) (cos( φ ) + i sin( φ )) n = (e i φ ) n = e i φ n = cos( φ n) + i · sin( φ n) (1 + i) 8 = 16 d) n 9 __________________ r · (cos( φ + 2 k π ) + i · sin( φ + 2 k π ) = = n 9 _ r · n 9 ________________ cos( φ + 2 k π ) + i · sin( φ + 2 k π ) = = n 9 _ r · (cos( φ + 2 k π ) + i · sin( φ + 2 k π) 1 _ n = = n 9 _ r · (e i·( φ + 2k π ) ) 1 _ n = n 9 _ r · e i· 2 φ + 2k π __ n 3 = = n 9 _ r · 2 cos 2 φ + 2k π __ n 3 + i · sin 2 φ + 2k π __ n 3 3 φ 2 Re Im 1 i 0 φ 1 r 2 z 1 z 2 z 3 φ 3 r 1 r 3 0 Re Im 1 i z 3 φ 1 φ 2 φ 3 r 2 r 1 z 2 z 1 Re Im 1 –4 –3 –2 – 1 1 –3 –2 – 1 0 D C B A 92 Anhang Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv