Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft

159. a) 1D, 2B, 3C, 4E b) 1F, 2A, 3B, 4E 160. JAGEN 161. 1) D = R \{‒ 2; 2}; 2) N = (0 1 0), dreifache Nu ®® ste ®® e; 3) H = (‒ 3,46 1 ‒ 5,20); T = (3,46 1 5,20); 4) (‒ • ; ‒ 3,46] streng monoton steigend; [‒ 3,46; ‒ 2) streng monoton fa ®® end; (‒ 2; 2) streng monoton fa ®® end; (2; 3,46] streng monoton fa ®® end; [3,46; • ) streng monoton steigend; 5) W = (0 1 0); 6) (‒ • ; ‒ 2) rechts gekrümmt; (‒ 2; 0] ® inks gekrümmt; [0; 2) rechts gekrümmt; (2; • ) ® inks gekrümmt; 7) y = 0 8) y = x; x = 2; x = ‒ 2 9) 162. A, C, E 163. A, B, E 164. 1C, 2B, 3A 165. a) B, D, E b) t = π _ 2 ω + k · 2 π _ω , k * Z c) Da die Steigung der Tangente bei einem Maximum 0 ist, müsste die Steigung der Tangente von ˆ s in den Berührpunkten 0 sein. Da ˆ s aber eine streng monoton fa ®® ende Funktion ist, ist dies nicht mög ® ich. 8 Anwendungen der Differentia ® rechnung 166. a) _ K(x) = x 2 – 3 x + 4 + 4 _ x b) Betriebsoptimum: 2 w der Unternehmer hat recht. Bei 2ME werden die Stückkosten minima ® . Diese Kosten ( _ K(2) = 4) werden a ® s ® angfristige Preisuntergrenze bezeichnet. D.h. auf ein Produktionsjahr bezogen, so ®® te der Preis pro Mengeneinheit nicht unter diesen Betrag fa ®® en, da sonst ein Ver ® ust erzie ® t würde. c) K’(x) = 3 x 2 – 6 x + 4 d) Der Schnittpunkt der Grenzkosten- und der Stückkosten- funktion entspricht dem Betriebsoptimum = Minimum der Stückkosten. Bei 2ME sind die Stückkosten bzw. Grenzkosten betragen 4 GE _ ME . 167. i) G(x) = 60 x – 4 x 1,5 – 200 w maxima ® er Gewinn bei x = 100ME (BIL) G(100) = 1 800 (EN) ii) K’(5) = 18 (TA) K v (2) = 20 (R) iii) Betriebsoptimum … 100ME (ÄT) ® angfristige Preisuntergrenze … 270GE (IT) R EN TA BIL IT ÄT 20 1 800 18 100 270 100 Lösungswort: Rentabi ® ität 168. a) Kostenkehre … 20ME K(20) = 900GE b) K’(20) = ‒ 52GE Bei der Produktion von 21ME nehmen die Gesamtkosten ungefähr um 52GE ab. c) degressiv: bis 20ME progressiv: ab 20ME 169. a) G(x) = ‒ x 3 + 10 x 2 + 13,5 x – 150 b) 4 ME Ab 4 ME macht das Unternehmen einen Gewinn. 170. a) 250ME b) 5760GE 171. a) h’(t) gibt die momentane Höhenänderung in Meter pro Sekunde an h’’(t) gibt die momentane Änderung der Höhenänderung (die vertika ® e Besch ® eunigung) in m _ s 2 an. b) h(6) = 18m; h(4) = 12m; h’(5) = 3; h’’(3) = 0 c) maxima ® e F ® ughöhe 20m (Randextremum); höchste Sinkgeschwindigkeit nach 5 Sekunden; Positive Krümmung im Interva ®® t * [5; 10] Die Drohne besitzt eine positive Besch ® eunigung (nach oben); die Drohne vergrößert ihre senkrechte Geschwin- digkeit nach oben. 172. C, D 173. Grundf ® äche:10m x 10m Höhe: 5m 174. b = r 9 _ 2 h = r 9 _ 2 _ 2 175. h = d 9 _ 6 _ 3 b = d 9 _ 3 _ 3 176. f’(x) = 3 x 2 – 6 x; x 1 = 0,6 – 0,136 _ ‒2,52 ≈ 0,654 x 2 = 0,654 – ‒0,00342 __ ‒2,64085 ≈ 0,653 x 3 = 0,653 – ‒0,00078 __ ‒2,63877 ≈ 0,6527 w x 3 = 0,6527 177. a) 1) g(x) = 2 – x + x 2 _ 2! – 1,5x 3 _ 3! 2) b 1 = 2; b 2 = ‒ x; b 3 = x 2 _ 2 ; b 4 = ‒ x 3 _ 4 3) Die Fo ® geng ® ieder der geometrischen Fo ® ge entspre- chen den Summanden des Tay ® orpo ® ynoms. x f(x) f 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 2 4 6 –8 –6 –4 –2 0 x K(x), K’(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 – 1 2 4 6 8 10 0 Grenzkostenfunktion Stückkostenfunktion x y 1 2 3 4 –4 –3 –2 – 1 2 4 6 8 0 –2 f g 89 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv