Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft

25. B, C, D 26. 1) 0 2) 2 3) ‒ 2 4) 6 5) ‒ 8 6) 8 27. (1) ® im z ¥ 1 s(z) – s(1) __ z – 1 (2) die momentane Geschwindigkeit des Körpers für t = 1 28. a) ‒ 2,73°C/min; Die Temperatur nimmt in [5; 11] im Mitte ® um 2,73°C/min ab. ‒ 3,07°C/min; Die Temperatur nimmt in [5; 9] im Mitte ® um 3,07°C/min ab. ‒ 3,69°C; Die Temperatur nimmt in [5; 6] um 3,69°C ab. b) ‒ 2,665°C/min; Die momentane Temperaturänderung zum Zeitpunkt t = 8 ist – 2,665°C/min. 29. a) fa ® sch Feh ® er: ® im z ¥ 5 (z – 5); richtig wäre: ® im z ¥ 5 (z + 5) b) richtig 30. a) 1 b) 27 31. a) f’(1) = 2 f’(‒ 2) = ‒ 4 f’(0) = 0 f’(2) = 4 b) f’(0) = 0 f’(1) = ‒ 3 f’(2) = 0 32. C, D 33. a) 1A, 2B, 3C, 4D b) 1F, 2E, 3D, 4C 34. (1) f(x) = 2 x 4 – x 3 + x 2 – 3 x + 5 (2) f’(x) = 8 x 3 – 3 x 2 + 2 x – 3 35. (1) f(x) = (3 x + 2) · (3 x – 2) (2) f’(x) = 18 x 36. t(x) = ‒ 60 x – 183 37. a) (2 1 4) b) 2 ‒ 4 _ 3 1 ‒ 39,74 3 bzw. (0 1 ‒19) 38. a) 7m/s b) ‒ 3m/s Da die momentane Geschwindigkeit des Körpers negativ ist, fä ®® t der Meta ®® körper wieder nach unten. c) nein 39. 6 a b + 3 c 2 + 3 a 2 – 6 b c + 3 b 2 – 6 a c 40. a) f(x)’ = 1 _ 3 · (50 x 4 – 9 x 2 + 8 x + 12) f(x)’’ = 1 _ 3 · (200 x 3 – 18 x + 8) f(x)’’’ = 1 _ 3 · (600 x 2 – 18) b) f’(x) = 1 _ 17 · (42 x 5 – 204 x 3 + 26 x – 6) f’’(x) = 1 _ 17 · (210 x 4 – 612 x 2 + 26) f’’’(x) = 1 _ 17 · (840 x 3 ‒1 224 x) 41. Der Löwe besch ® eunigt in diesem Interva ®® g ® eichmäßig mit 5m/s 2 . 42. a) D = [0; 46,5] Eine größere Definitionsmenge ist nicht sinnvo ®® , da der Bremsweg danach wieder abnehmen würde. 720,75m b) 31m/s Die momentane Geschwindigkeit des Zuges am Beginn der Bremsung ist 31m/s. c) Da die momentane Geschwindigkeit bei einem Brems- vorgang abnehmen muss, muss die erste Ab ® eitung streng monoton fa ®® end sein. Die erste Ab ® eitung einer quadratischen Funktion ist eine ® ineare Funktion der Form f’(x) = 2 a x + b. Damit diese fa ®® end ist, muss a negativ sein. d) s’’(t) = ‒ 2 _ 3 Der Zug bremst g ® eichmäßig mit einer konstanten Besch ® eunigung von ‒ 2 _ 3 m/s 2 . 3 Untersuchung von Po ® ynomfunktionen 43. A, D, E 44. a) A w B A ist nicht hinreichend für B, da nicht jede ree ®® e Zah ® automatisch auch eine rationa ® e Zah ® ist. Daher ist B auch nicht notwendig für A. B w A B ist eine hinreichende Bedingung für Aussage A, da jede rationa ® e Zah ® auch eine ree ®® e Zah ® ist. Daher ist A auch notwendig für B. b) A w B A ist nicht hinreichend für Aussage B, da es auch nicht ® ineare streng monoton steigende Funktionen gibt. Daher ist B auch nicht notwendig für A. B w A B ist hinreichend für A, da eine ® ineare Funktion mit positiver Steigung streng monoton steigend ist. Daher ist A auch notwendig für B. 45. Da an der Ste ®® e 0 kein Monotoniewechse ® statt- findet, hande ® t es sich um eine Satte ® ste ®® e. 46. a) E = (2 1 ‒1) … ® oka ® e Minimumste ®® e b) Ist a > 0, dann besitzt f eine ® oka ® e Minimumste ®® e. Ist a < 0, dann besitzt f eine ® oka ® e Maximumste ®® e. c) Quadratische Funktionen besitzen immer einen Scheite ® punkt. Diesen erhä ® t man, indem man die erste Ab ® eitung 0 setzt. Die erha ® tene G ® eichung ist eine ® ineare G ® eichung. Die Lösung dieser G ® eichung ist die x-Koordi- nate des Scheite ® punkts. Eine quadratische Funktion besitzt daher nie eine Satte ® ste ®® e. Aus diesem Grund ist die gegebene Bedingung auch hinreichend. 47. f(x) = x 3 + 3 x 2 – 45 x + 10 f(x) = ‒ x 4 + 8 x 3 – 18 x 2 + 10 f’(x) = 0 3 x 2 + 6 x – 45 = 0 ‒ 4 x 3 + 24 x 2 – 36 x = 0 mög ® iche (mit f’ berechnete) Extremste ®® en angeben x = 3 bzw. x = ‒ 5 x = 0 bzw. x = 3 Monotonie überprüfen f’(‒7) > 0; f’(‒7) > 0; f’(1) < 0; f’(1) < 0; f’(4) > 0 f’(4) < 0 streng monoton steigend in (‒ • ; ‒ 5] [3; • ) (‒ • ; 0] streng monoton fa ®® end in [‒ 5; 3] [0; • ) 48. B, E 49. D 50. ® oka ® e Maximumste ®® e(n): ‒ 4 ® oka ® e Minimumste ®® e(n): 0 g ® oba ® e Maximumste ®® e(n): ‒ 4 bzw. 2 g ® oba ® e Minimumste ®® e(n): ‒ 6 bzw. 0 x f(x) f 2 4 –8 –6 –4 –2 2 4 6 –6 –4 –2 0 84 Anhang Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv