Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft

1 G ® eichungen höheren Grades 1. 1D, 2F, 3C, 4A 2. a) Die Lösung x 1 = 0 feh ® t. Es wurde x herausge- hoben. L = {‒7; 0; 8} b) Die Lösungsmenge ist nicht ® eer. Die Lösung x = 0 wurde nicht berücksichtigt. Die Lösungsforme ® wurde fa ® sch angewendet. L = {‒ 2; 0; 8} 3. 1 … (x 2 + 1,44) (x 2 + 9) = 0 2… keine ree ®® e Lösung 4. 1C, 2A, 3D, 4B 5. a) u 1 = 9; x 3, 4 = ± 2 b) x 4 – 45,25 x 2 + 506,25 = 0; x 1, 2 = ± 5; x 3, 4 = ± 4,5 c) x 4 – 0,34 x 2 + 0,0225 = 0; u 1 = 0,25; u 2 = 0,09 d) u 1 = 1 _ 9 ; u 2 = 1 _ 81 ; x 1, 2 = ± 1 _ 3 ; x 3, 4 = ± 1 _ 9 6. A), D), E) 7. 1 … x 3 + x 2 – 20 x 2 … x + 5 8. A), C), D) 9. a) Die Aussage ist zutreffend, da der Grad ungerade ist. Aufgrund der Form des Graphen muss es mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achse geben. b) Die Aussage ist nicht zutreffend. Da der Grad der Funktion gerade ist, kann es aufgrund der Form des Graphen vorkommen, dass der Graph die x-Achse nie schneidet. 10. 1C, 2A, 3B, 4E 11. z.B. f(x) = (x + 3) 2 (x + 1) 12. a) f(x) = x 4 – 3 x 3 – 4 x 2 + 12 x = (x + 2) (x – 2) (x – 3)x b) g(x) = x 4 + 3 x 3 – 4 x 2 = (x + 4) x 2 (x – 1) c) h(x) = x 4 – 3x 3 _ 2 = x 3 (x – 1,5) d) i(x) = x 4 – 5x 2 _ 4 + 1 _ 4 = (x – 1) (x + 1) (x – 0,5) (x + 0,5) 13. B, F, G, H 14. a) A, C, D, E b) ±1; ± 3 a c) N 1 = (‒ 2 1 0); N 2, 3 = (3 1 0); N 4 = (5 1 0); f(x) = (x + 2) (x – 3) 2 (x – 5) = x 4 – 9 x 3 + 17x 2 + 33 x – 90 15. a) 1 ist eine Lösung der G ® eichung, da 1 3 – 3,5 ·1 2 + 3,5 ·1 – 1 = 0 gi ® t. Da 2 ebenfa ®® s eine Lösung der G ® eichung ist, ist ® aut Angabe auch 1 _ 2 eine Lösung: 2 3 – 3,5 · 2 2 + 3,5 · 2 – 1 = 0 w.A. 2 1 _ 2 3 3 – 3,5 · 2 1 _ 2 3 2 + 3,5 · 1 _ 2 – 1 = 0 w.A. b) C, D, E c) Die Division durch x 2 ist eine zu ® ässige Äquiva ® enz- umformung, da x ≠ 0 ist und die Anzah ® der Lösungen sich nicht verändert. Dividiert man die G ® eichung durch x 2 erhä ® t man a x 2 + b x + c + b _ x + a _ x 2 = 0. Nun werden die Parameter herausgehoben und t 2 = x + 1 _ x 3 bzw. t 2 2 = x 2 + 2 + 1 _ x 2 3 eingesetzt. Man erhä ® t nach Umformung die G ® eichung a t 2 + b t + c – 2 a = 0. 2 Grund ® agen der Differentia ® rechnung 16. a) Im Monat m waren die Umsätze größer a ® s im Monat n. b) Dieser Term gibt an, um wie vie ® Prozent der Umsatz im Monat m größer/k ® einer a ® s im Monat n ist. 17. 1F, 2B, 3A, 4C 18. abso ® ute Änderung: ‒1 re ® ative Änderung: ‒ 1 _ 2 mitt ® ere Änderung: ‒ 1 _ 6 19. A, C 20. a) 1) [0; 2]: N 0 · (‒ 0,12) 2) [6; 8]: N 0 · (‒ 0,05) 3) [2; 4]: N 0 · (‒ 0,09) 5) [4; 6]: N 0 · (‒ 0,07) 4) [8; 10]: N 0 · (‒ 0,04) Da es sich um eine streng monoton fa ®® ende Exponentia ® funktion hande ® t, ist die x-Achse Asymptote. Daher wird die Differenz der gegebenen Funktionswerte immer k ® einer. b) Die Aussage ist zutreffend, da die re ® ative Änderungs- rate in jedem der gegebenen Interva ®® e 0,877 2 – 1 ≈ 0,23 ist. a ®® gemein gi ® t: N 0 ·0,877 t + 2 – N 0 ·0,877 t ____ N 0 ·0,877 t = 0,877 2 – 1 21. 120 km/h 22. A, B, D 23. Lösungswort: SCHOKOLADENKUCHEN Im gegebenen Interva ®® [a; b] gi ® t: [‒ 2; 1] [1; 5] [5; 7] [7; 9] [‒ 2; 7] [1; 9] Der Differenzenquo- tient von f ist positiv.  E  T N E H C Der Differenzenquo- tient von f ist Nu ®® . U  R  U  I  I  I f(b) > f(a)  O  T K N E D f ist streng monoton steigend.  C  R A  N  M  R Die Änderung der Funktionswerte ist 1.  A  M  U L O  F Die Funktion wächst im Mitte ® um 1 _ 4 .  T  R  A  A  I K Die Steigung der Sekante von f ist negativ.  B O  P  G  A  L Die Funktions- g ® eichung der Sekante ® autet s(x) = 2x – 12.  A  V H  K  U  R Die Funktions- g ® eichung der Sekante ® autet s(x) = 1. C  H  M  S  R  U Der Differenzen- quotient von f ist 0,5.  P  R  A S  S  S 24. a) f(x) = 5 x 2 b) Da der Graph von f symmetrisch bezüg ® ich der y-Achse ist, müssen die Funktionswerte von f(r) und f(‒ r) überein- stimmen. Aus diesem Grund muss auch der Differenzen- quotient 0 sein. rechnerisch: f(r) – f(‒r) __ 2r = ar 2 – ar 2 __ 2r = 0 x f(x) f x f(x) f 83 Lösungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv