Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft

248. Bestimme in C a ®® e Lösungen der G ® eichung. a) z 4 = 1 b) z 4 = 16 c) z 4 = 81 Die Summe a ®® er Rea ® - und a ®® er Imaginärtei ® e ist nu ®® . Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 249. 1748 veröffent ® ichte der Schweizer Mathematiker Leonhard Eu ® er die Eu ® er’sche Identität (auch Eu ® er’sche Forme ® genannt): e i φ = cos( φ ) + i · sin( φ) . Mit Hi ® fe dieser Forme ® werden die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus mit der Eu ® er’schen Zah ® e sowie mit der imaginären Einheit i verbunden. a) Gegeben ist die komp ® exe Zah ® z = ‒ 6 + 8 i. Kreuze die äquiva ® ente Darste ®® ung für z an. A B C D E F e i·126,87° 10 · e i·53,13° 53,13 · e i·10° 126,87· e i·10° 10 · e i·126,87° e i·10° b) Zeige mit Hi ® fe der Eu ® er’schen Identität die Gü ® tigkeit des Zusammenhangs: e i · π + 1 = 0 c) Abraham de Moivre (1667–1754) war ein französischer Mathematiker, nach dem der fo ® gende Zusammenhang (Satz von Moivre) benannt ist: (cos( φ ) + i · sin( φ )) n = cos(n · φ ) + i · sin(n · φ ) mit n * Z – Zeige unter Verwendung der Eu ® er’schen Identität die Gü ® tigkeit des Satzes von Moivre. – Berechne den Wert der Potenz (1 + i) 8 . d) Leite unter Verwednung der Eu ® er’schen Forme ® eine Forme ® für n 9 __________________ r · (cos( φ + 2 k π ) + i · sin( φ + 2 k π )) mit n * Z + und k = 1, 2, 3, 4, …, n – 1 her. e) Begründe, dass es in C keine Ordnung (z. B. im Sinne von k ® einer bzw. größer) gibt. Typ 2 Komplexe Zahlen 78 11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv