Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft

11.4 Fundamenta ® satz der A ® gebra 232. Bestimme eine G ® eichung a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 n-ten Grades, die die gegebenen Lösungen besitzt. a) ‒ 2; 6 b) 3 + i; 3 – i c) 2; ‒ 3; 8 d) ‒1; i; ‒ i e) ± 2; ± 4 f) ‒1; 1; ‒ 4 i; 4 i 233. Ergänze den Satz so, dass eine korrekte Aussage entsteht. Die G ® eichung (1) hat in der Menge R (2) . (1) (2) x 3 – 2 x 2 – x + 2 = 0  keine Lösung  x 3 – 7x 2 + 19 x – 13 = 0  genau zwei verschiedene ree ®® e Lösungen und eine komp ® exe Lösung  x 3 + 7x 2 + 12 x = 0  genau eine ree ®® e Lösung  234. Zeige, dass die G ® eichung x 3 – 2 x 2 – 23 x + 150 = 0 in der Menge der komp ® exen Zah ® en C genau drei unterschied ® iche Lösungen besitzt. 235. Zeige, dass sich die Koeffizienten der G ® eichung x 3 + b x 2 + c x + d = 0 aus den Lösungen x 1 , x 2 und x 3 fo ® gendermaßen berechnen ® assen: b = ‒ x 1 – x 2 – x 3 c = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 d = ‒ x 1 x 2 x 3 236. Bestimme die Koeffizienten der G ® eichung x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 mit den Lösungen x 1 , x 2 , x 3 und x 4 . 237. We ® che a ® gebraische G ® eichung hat die Lösungen ‒a, a, ‒b i und b i? Kreuze die zutreffende Aussage an. A x 4 + a 2 x 2 + b 2 x 2 ‒ a 2 b 2 = 0  B x 4 – a 2 x 2 + b 2 x 2 + a 2 b 2 = 0  C x 4 + a 2 x 2 + b 2 x 2 + a 2 b 2 = 0  D x 4 – a 2 x 2 ‒ a 2 b 2 = 0  E x 4 – a 2 x 2 + b 2 x 2 ‒ a 2 b 2 = 0  F x 4 + b 2 x 2 ‒ a 2 b 2 = 0  238. Begründe den fo ® genden Satz: Ist x 1 eine Lösung einer G ® eichung n-ten Grades, so ® ässt sich vom Term der G ® eichung der Linear- faktor x – x 1 abspa ® ten: a n · x n + a n – 1 · x n – 1 + … + a 1 · x + a 0 = (x – x 1 ) ·T(x). T(x) ist ein dabei ein Term (n – 1)-ten Grades. 75 Komplexe Zahlen | Fundamentalsatz der Algebra Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv