Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft

Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 14. Die Terme von drei quadratischen G ® eichungen werden miteinander mu ® tip ® iziert. Sie haben fo ® gende Eigenschaften: – eine G ® eichung hat die Diskriminante D = 0 – eine G ® eichung hat eine positive Diskriminante – eine G ® eichung hat eine negative Diskriminante. a) Gegeben sind Aussagen über die Lösungen der so entstandenen G ® eichung. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Die G ® eichung besitzt drei unterschied ® iche ree ®® e Lösungen.  B Die G ® eichung besitzt, wenn man auch mehrfach auftretende Lösungen mitzäh ® t, drei ree ®® e Lösungen.  C Die G ® eichung besitzt zwei nicht ree ®® e Lösungen.  D Die G ® eichung besitzt mindestens eine Doppe ®® ösung.  E Die G ® eichung besitzt, wenn man die Lösungen in ihrer Vie ® fachheit zäh ® t, vier ree ®® e Lösungen.  b) Gegeben ist die G ® eichung vierten Grades x 4 – (9 a 2 + 1)x 2 + 9 a 2 = 0 mit a * R 0 + . Bestimme die Lösungen der G ® eichung in Abhängigkeit von a mithi ® fe einer geeigneten Substitution. c) Gegeben ist der Graph einer normierten Po ® ynomfunktion 4. Grades. Gib die Nu ®® ste ®® en an und ste ®® e die Funktionsg ® eichung auf. 15. Eine G ® eichung 3. Grades heißt symmetrisch, wenn die Fo ® ge der Koeffizienten (vom Vorzeichen abgesehen) von ® inks und rechts gesehen diese ® be ist, z. B. 3 x 3 – 2 x 2 + 2 x – 3 = 0. Da der Grad der G ® eichung ungerade ist, ist stets 1 oder ‒ 1 eine Lösung der G ® eichung. Außerdem gi ® t: ist m eine Lösung der G ® eichung, so ist auch der Kehrwert 1 _ m eine Lösung. a) Gegeben ist die symmetrische G ® eichung x 3 – 3,5 x 2 + 3,5 x – 1 = 0 mit G = R . Zeige, dass die in der Angabe beschriebenen Eigenschaften für symmetrische G ® eichungen ge ® ten. b) Kreuze die symmetrischen G ® eichungen an. A ‒7x 3 – x 2 + x – 7 = 0  B 7x 3 + 1 = 0  C 7x 3 + x 2 + x + 7 = 0  D ‒7x 3 – x 2 + x + 7 = 0  E x 3 – 1 = 0  c) Gegeben ist eine symmetrische G ® eichung vierten Grades a x 4 + b x 3 + c x 2 + b x + a = 0. – Dividiere die G ® eichung durch x 2 und begründe, warum diese Division bei einer derartigen G ® eichung eine zu ® ässige Äquiva ® enzumformung ist. – Zeige, dass sich die G ® eichung mitte ® s der Substitution t = x + 1 _ x in eine quadratische G ® eichung mit der Variab ® en t überführen ® ässt. Typ 2 x f(x) 1 2 3 4 5 6 –2 – 1 20 40 – 100 –80 –60 –40 –20 0 f Typ 2 7 Gleichungen höheren Grades | Vernetzung – Typ-2-Aufgaben Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des e Verlags öbv