Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft

7.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Stetige Funktionen 164. Nicht stetige Funktionen werden a ® s „unstetig“ bezeichnet. Bei den unstetigen Funktionen unter- scheidet man zwei Arten: Funktionen mit hebbaren Unstetigkeitsste ®® en und Funktionen, deren Unstetigkeitsste ®® en nicht hebbar sind. Eine Unstetigkeitsste ®® e wird a ® s hebbar bezeichnet, wenn man die Funktion an dieser Ste ®® e geeignet definieren kann, sodass die gesamte Funktion stetig ist. Dies nennt man stetige Fortset- zung. Gegeben sind drei Funktionen. Ordne jeder Funktion die passende Aussage zu. 1 f(x) = x 2 A Die Funktion ist an einer Ste ®® e unstetig und nicht hebbar. 2 f(x) = x 2 – 16 _ x – 4 B Die Funktion ist an einer Ste ®® e unstetig, die Unstetigkeitsste ®® e ist hebbar. 3 f(x) = x + 3 _ (x – 5) 2 C Die Funktion ist im ganzen Definitionsbereich stetig. Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 165. Federeinrichtungen in LKWs geben bei der Benutzung einen Tei ® der Energie ab. Bei einer einma ® igen Anregung würde daher keine harmonische Schwingung, sondern eine gedämpfte Schwingung entstehen. Die E ® ongation s (Entfernung eines schwingenden Körpers von der Ruhe ® age) einer so ® chen Schwingung ® ässt sich näherungsweise mit der Funktion s durch s(t) = s 0 · e ‒ δ ·t · sin( ω · t) beschreiben (c, ω , δ sind systemabhängige Konstanten, t ist die Zeit in Sekunden), wobei der erste Tei ® dieser Funktion Amp ® itudenfunktion ˆ s(x) = s 0 · e ‒ δ ·t genannt wird. Die gegebene Schwingung ist eine Schwingung, deren Amp ® itude (Betrag der größten E ® ongation) im Laufe der Zeit abnimmt. a) Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Bei steigendem δ nimmt die Amp ® itude der gedämpften Schwingung ® inear ab.  B Ist δ = 0, so entsteht eine harmonische Schwingung.  C Der Graph von s schneidet nie die x-Achse.  D Der Graph von ˆ s besitzt keine Nu ®® ste ®® e.  E Bei steigendem δ nimmt die Amp ® itude der gedämpften Schwingung exponentie ®® ab.  b) Der Graph von s(t) wird von den Funktionen ˆ s 1 (t) = s 0 · e ‒ δ ·t und ˆ s 2 (t) = ‒ s 0 · e ‒ δ ·t , den so genannten „Einhü ®® enden“ berührt. Gib einen Term an, der die t-Werte a ®® er Schnittpunkte von ˆ s 1 und s angibt. c) Begründe, warum der Graph von ˆ s(t) = s 0 · e ‒ δ ·t den Graphen von s(t) nicht genau in den Hoch- punkten berührt. Typ 2 Erweiterung der Differentialrechnung 52 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv