Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft

Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 135. Rosenkurven sind Kurven mit der Parameterdarste ®® ung X = 2 r · sin(a t) · cos(t) r · sin(a t) · sin(t) 3 mit t * [0; 2 π ], r > 0, a > 0. Den Namen haben diese Kurven, da sie Ähn ® ichkeiten zu B ® üten oder Ke ® chb ® ättern von B ® umen haben. In nebenstehender Abbi ® dung siehst du eine Rosenkurve mit zwö ® f „B ® ättern“. Im A ®® tag begegnen sie uns in Mustern oder a ® s Manda ® as zum Ausma ® en. a) Erste ®® e mit Techno ® ogieeinsatz einige Rosenkurven, variiere deren Parameter a und r, und kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Mit a wird die Anzah ® der „B ® ätter“ verändert.  B Mit r verändert man den Durchmesser der Gesamtkurve.  C Rosenkurven sind eindimensiona ® .  D Wenn a ungerade ist, so entspricht a der Anzah ® der „B ® ätter“.  E Wenn a gerade ist, so entspricht a der Anzah ® der „B ® ätter“.  b) Gegeben ist der Graph einer Rosenkurve. Gib die Parameterdarste ®® ung der Kurve an. c) Begründe, warum sich die Form einer Rosenkurve nicht ändert, wenn man das Parameterinterva ®® von t * [0; 2 π ] auf t * [0, 8 π ] verändert. d) Gegeben ist die Parameterdarste ®® ung einer Rosenkurven r: x(t) = r · sin(a · t) · cos(t), y(t) = r · sin(a · t) · sin(t). Diese Parameterdarste ®® ung wird nun verändert. Die neue Darste ®® ung R ® autet: R: x(t) = (r · sin(a · t) · cos(t)), y(t) = (r · sin(a · t) · sin(t)) Kreuze die zutreffende Aussage an. A Die beiden Darste ®® ungen beschreiben die g ® eiche Kurve.  B R beschreibt keine Rosenkurven mehr.  C Wenn a ganzzah ® ig ist, hat R 2 a „B ® ätter“.  D Die Rosenkurven werden dreidimensiona ® .  E Wenn a eine gerade Zah ® ist, haben die Kurven r und R „2 a“ B ® ätter.  Typ 2 x y b 1 2 –2 – 1 1 2 –2 – 1 0 Parameterdarstellung von Kurven 44 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv