Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft

132. Eine Kardioide (Herzkurve) ist eine Epizyk ® oide, we ® che man auf mehrere Arten entwicke ® n kann. Bei der bekanntesten Mög ® ichkeit ro ®® t auf einem Kreis ein g ® eich großer Kreis ab. Die Spur eines festen Punktes am zweiten Kreis bi ® det diese Kurve. Die Herzkurve kann durch fo ® gende Parameterform festge ® egt werden: h: X = 2 a · (1 + cos(t)) · cos(t) a · (1 + cos(t) · sin(t) 3 , t * [0; 2 π ] a) Gegeben ist die Abbi ® dung einer Herzkurve mit der Parameterform h: X = 2 4 · (1 + cos(t)) · cos(t) 4 · (1 + cos(t) · sin(t) 3 , t * [0; 2 π ]. Ste ®® e im g ® eichen Koordinatensystem die Kurve h: X = 2 2 · (1 + cos(t)) · cos(t) 2 · (1 + cos(t) · sin(t) 3 , t * [0; 2 π ], dar. b) Über ® ege, inwieweit sich eine Herzkurve verändert, wenn das Interva ®® des Parameters von [0; 2 π ] auf [0; 4 π ] bzw. [0; 12 π ] verändert wird, und begründe das Ergebnis. c) Über ® ege, in wieweit sich die Form der Herzkurve ändert, wenn man den Parameter a verdoppe ® t. 6.2 Kurven und F ® ächen im Raum Kurven im Raum 133. Die Parameterdarste ®® ung der Kurve e ®® : X = 2 a cos(t) b sin(t) 0 3 mit t * [0; 2 π ] beschreibt eine E ®® ipse in der xy-Ebene mit Mitte ® punkt im Ursprung, der Hauptachse a und der Nebenachse b. a) Gib die Parameterdarste ®® ung der E ®® ipse im Raum an, we ® che in der Abbi ® dung zu sehen ist. e ®® : b) Beschreibe die Lage der E ®® ipse e ®® im Raum und ste ®® e sie mit Hi ® fe von Techno ® ogieeinsatz dar. e ®® : X = 2 6 cos(t) 2,5 sin(t) 4 3 mit t * [0; 2 π ] F ® ächen im Raum 134. Die Parameterdarste ®® ung eines Zy ® indermante ® s ® autet z: X = 2 a cos(t) a sin(t) u 3 mit t * [0; 2 π ] und u * [0; b] und kann a ® s ein Kreis in der xy-Ebene mit Radius a k: X = 2 a cos(t) a sin(t) 0 3 interpretiert werden, we ® cher kontinuier ® ich ent ® ang der z-Achse von u = 0 bis u = b verschoben wird. Eine 5 cm hohe zy ® indrische Vase besitzt eine e ®® ipsenförmige Grundf ® äche (a = 4 cm, b = 1 cm). Gib die Parameterdarste ®® ung der Mante ® f ® äche an. x h y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –3 –2 – 1 1 2 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 – 1 0 x z y –2 –3 –4 –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 –2 –1 –3 –4 1 1 2 e ®® 3 4 0 2 3 4 43 Parameterdarstellung von Kurven | Kurven und Flächen im Raum Nur zu Prüfzwecken – Eigentum 2 des Verlags öbv