Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft

Tangente an eine Parabe ® 123. Gegeben ist die Parabe ® p: y 2 = 4 x und die Gerade g(x) = ‒ x + 3. 1) Schneide die Gerade g mit der Parabe ® und ermitt ® e die Schnittpunkte S 1 und S 2 . S 1 = S 2 = 2) Lege Tangenten durch die Punkte S 1 und S 2 und gib die Tangenteng ® eichungen an. t 1 : t 2 : 3) Die Tangenten t 1 und t 2 bi ® den mit der Geraden g ein Dreieck. Ermitt ® e den F ® ächeninha ® t. A = Schnittwinke ® zwischen zwei Kege ® schnitten 124. Gegeben ist die E ®® ipse e ®® und die Parabe ® par. Ermitt ® e die E ®® ipsen- bzw. die Parabe ® g ® eichung und berechne die Schnittpunkte. Gib auch den Schnittwinke ® an. par: e ®® : S 1 = S 2 = Schnittwinke ® α = 125. Gegeben ist ein Kreis k: x 2 + y 2 – 16 x = 100 und eine E ®® ipse e ®® : 9 x 2 + 25 y 2 = 900. Bestimme die gemeinsamen Tangenten, a ® so Geraden, die sowoh ® den Kreis, a ® s auch die E ®® ipse berühren. t 1 : t 2 : Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 126. Die E ®® ipse: ein „Ei“ mit besonderen Eigenschaften a) Krümmungskreise sind Kreise, die sich bestmög ® ich an die E ®® ipsenscheite ® anschmiegen. In nebenstehender Abbi ® dung sieht man, wie man den Mitte ® punkt M des Krümmungskreises für einen Nebenscheite ® der E ®® ipse e ®® : 4 x 2 + 9 y 2 = 36 konstruiert. 1) Berechne die Kreisg ® eichung dieses Krümmungskreises. 2) Berechne um wievie ® Prozent der positive y-Wert des Kreises an der Ste ®® e 1 vom positiven y-Wert der E ®® ipse an der Ste ®® e 1 abweicht. b) Die Strecke von einem Punkt X der E ®® ipse zu einem Brennpunkt heißt Brennstrah ® . 1) Zeige, dass der Winke ® , den die beiden Brennstrah ® en zu einem E ®® ipsenpunkt X einsch ® ießen, durch die Norma ® e n auf die E ®® ipse in diesem Punkt ha ® biert wird. 2) Begründe, warum Scha ®® we ®® en, die von einem Brenn- punkt zu einem bestimmten Zeitpunkt mit derse ® ben Geschwindigkeit ausgehen und an der E ®® ipsen- innenseite ref ® ektiert werden, a ®® e zum g ® eichen Zeitpunkt im anderen Brennpunkt auftreffen. x y e ®® par 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –6 –5 –4 –3 –2 – 1 0 Typ 2 x y h Krümmungskreis M ell 1 2 3 4 –4 –3 –2 – 1 1 2 3 –3 –2 – 1 0 α –2 α –2 x y Normale auf Ellipse e ®® : 1x 2 + 2y 2 = 8 X F 1 F 2 1 2 3 4 –4 –3 –2 – 1 1 2 3 –3 –2 – 1 0 Kegelschnitte 40 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv