Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft

3.6 Extremwertaufgaben 68. Die Summe zweier natür ® icher Zah ® en a und b ist 12. Für we ® che Zah ® en a und b wird das Produkt von a 2 und b 2 am größten? 1) Vervo ®® ständige die Wertetabe ®® e und markiere die Werte für a und b, für die a 2 · b 2 maxima ® wird. a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 b a 2 · b 2 2) Ergänze den Text und ® öse die Aufgabe ansch ® ießend: Die Hauptbedingung dieser Aufgabe ist die Funktion p(a, b) = . Da die Funktion p von Variab ® en abhängt, muss aus dem Zusammenhang a + b = 12 (der so genannten ) eine Variab ® e durch die andere ausgedrückt (z. B. b = ) und in p eingesetzt werden: p(a) = . Durch Nu ®® setzen der Ab ® eitungsfunktion von p bestimmt man die mög ® ichen ® oka ® en von p und überprüft anhand des Graphen von p bzw. mit der Ab ® eitungsfunktion von p, ob es sich bei den Ste ®® en um Minimum- oder Maximumste ®® en hande ® t. 69. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,5 x 2 – 4 x + 7,5. Der Punkt P = (x 1 y) mit x * [0; 3] ® iegt auf dem Graphen von f und bestimmt mit den beiden Achsen und den Para ®® e ® en dazu ein Rechteck. Bestimme x so, dass die F ® äche des Rechtecks maxima ® wird. 1) Hauptbedingung: A(x, y) = 2) Nebenbedingung: (Hinweis: x und y entsprechen den Punktkoordinaten) 3) Zie ® funktion: A(x) = 4) Berechnung der Extremste ®® en von A: x = 5) Nachweis des gesuchten Extremums mit A’’: x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 – 1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 f P(x 1 y) x y Untersuchung von Polynomfunktionen 24 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv