Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Arbeitsheft

28. Frau Mü ®® er hat für das Abendessen eine Suppe gekocht. Sie ® ässt die Suppe ansch ® ießend abküh ® en. Die Temperatur T (in °C) der Suppe zum Zeitpunkt t (in Minuten) wird durch fo ® genden Zusammenhang mode ®® iert: T(t) = 22 + 58 · e ‒0,13t a) Gib die mitt ® ere Änderungsrate der Temperatur für die Interva ®® e [5; 11], [5; 9] und [5; 6] an und interpretiere die Ergebnisse im Kontext. [5; 11]: [5; 9]: [5; 6]: b) Ermitt ® e T’(8) näherungsweise mit Hi ® fe von sehr k ® einen Interva ®® en und interpretiere den Differentia ® quotienten im Kontext. Berechnen der momentanen Änderungsrate 29. Das Vo ® umen einer quadratischen Pyramide ist abhängig von der Seiten ® änge. In einer Rechnung wird die momentane Änderungsrate des Vo ® umens einer Pyramide mit konstanter Höhe h = 3 cm für a = 5 cm ermitte ® t. Kontro ®® iere die Rechnung und gib an, ob diese korrekt ist. Finde etwaige Feh ® er. a) V(a) = 1 _ 3 · (G· h) = a² · h _ 3 V’(5) = ® im z ¥ 5 V(z) – V(5) __ z – 5 = ® im z ¥ 5 z² · 3 _ 3 – 25 · 3 _ 3 __ z – 5 = ® im z ¥ 5 z² – 25 _ z – 5 = ® im z ¥ 5 (z – 5) = 0 Die Rechnung ist korrekt:  ja  nein Feh ® er: b) V(a) = 1 _ 3 · (G· h) = a² · h _ 3 V’(5) = ® im z ¥ 5 V(5) – V(z) __ 5 – z = ® im z ¥ 5 75 _ 3 – z² · 3 _ 3 __ 5 – z = ® im z ¥ 5 25 – z² _ 5 – z = ® im z ¥ 5 (z + 5) = 10 Die Rechnung ist korrekt:  ja  nein Feh ® er: 30. Berechne die gesuchten Werte. a) f(x) = x 2 – 3 x + 4 f’(2) b) f(x) = x 3 – 3 f’(‒ 3) Grundlagen der Differentialrechnung 12 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv