Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Arbeitsheft

244. Gegeben sind mehrere G ® eichungssysteme. Interpretiere jede G ® eichung a ® s Ebene in R 3 und inter- pretiere die Lösung geometrisch. (1) I: 4 x – y – 3 z = 0;   II: 3 x – 3 y + 2 z = 2;   III: -x + 5 y – 2 z = 2 (2) I: x – 0,5 y + 2 z = 4,   II: 4 x – 2 y + 8 z = 16,   III: ‒ 2 x + y – 4 z = ‒ 8 (3) I: 5 x – 3 y + z = ‒1;   II: ‒ x + 7y – 3 z = 13;   III: x – 4 y – z = ‒7 (4) I: 2 x + 4 y – z = 9,   II: 3 x – 6 y + 5 z = 1,    III: ‒ x – 2 y + 0,5 z = 4,5 Die G ® eichungssysteme (1) und (3) haben a ® s Lösungsmenge . Dies bedeutet die drei Ebenen . Beim G ® eichungssystem (2) sind die drei Ebenen . Die Lösungsmenge besteht aus . G ® eichungssystem (4) beinha ® tet zwei und eine Ebene, die . 245. Gegeben ist ein G ® eichungssystem mit einem Parameter s (s * R ). Gib eine natür ® iche Zah ® für s an, so dass das G ® eichungssystem a) genau eine Lösung b) keine Lösung besitzt. I: 2 x + 3 y – 5 z = 4; II: x – 6 y + 8 z = 13; III: ‒ 2 x – 3 y + s z = 0 a) s = b) s = 246. Beschreibe die Lagebeziehung der vier Ebenen zueinander. a) e 1 : 2 x + y – 2 z = 1, e 2 : ‒ 2 x – y + 2 z = ‒1, e 3 : ‒ 2 x – y + 2 z = 2, e 4 : 2 x + y – 2 z = ‒ 2 b) e 1 : x = 2, e 2 : y = ‒ 2, e 3 : z = 2, e 4 : x + 2 y + z = 0 247. Bestimme den Winke ® zwischen den beiden Ebenen des abgebi ® deten Würfe ® s. Lege dazu den Würfe ® in ein Koordinatensystem und den Punkt A in den Ursprung. a) Ebene ABC, Ebene BCE c) Ebene EFC, Ebene BGH b) Ebene ABE, Ebene CGH d) Ebene EFH, Ebene ABE Se ® bstkontro ®® e: Die Summe der Ergebnisse ist 225°. 12.5 Abstandsberechnungen 248. Den Abstand zwischen einem Punkt P und einer Ebene e kann man, neben der im Schu ® buch beschriebenen Methode, auch mit der HESSEschen Abstandsforme ® ermitte ® n. Dabei wird ein be ® iebiger Punkt X in der Ebene, der Punkt P und der Norma ® vektor der Ebene n benötigt. Der Abstand d des Punktes P von der Ebene e ist dann: d = † _ À n 0 · _ À XP † . Ergänze die feh ® enden Rechenschritte. P = (1 1 3 1 ‒ 2), e: 4 x – 5 y + z = 2 1) Man ermitte ® t einen Punkt in der Ebene e. X = (1 1 0 1 ) 2) Der Richtungsvektor _ À XP wird berechnet. 3) Der Einheitsvektor _ À n 0 wird ermitte ® t. 4) Der Abstand des Punktes P von der Ebene e wird berechnet. A B C D E F G H Ebenen im Raum 58 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv