Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Arbeitsheft

Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 203. Der Sierpinski-Teppich ist ein Frakta ® , we ® ches vom po ® nischen Mathematiker Wac ® aw Sierpinski entwicke ® t wurde. Bei diesem quadratischen Teppich (Seiten ® änge = 1) wird aus der Mitte ein Neunte ® der F ® äche entfernt. Übrig b ® eiben (um das Loch herum) acht quadratische Fe ® der. Aus diesem entfernt man wieder ein Neunte ® der F ® äche. Diesen Vorgang kann man theoretisch unend ® ich oft durchführen. Es entsteht dann ein Muster, wie man es in der Abbi ® dung sehen kann. a) Die F ® ächeninha ® te der einze ® nen Teppiche (ohne Löcher) ® assen sich a ® s Fo ® ge beschreiben. Nimm an, dass die Seiten ® änge des ursprüng ® ichen Quadrats 1 ist und ermitt ® e die exp ® izite Darste ®® ung der Fo ® ge. A n = b) Kreuze die rekursive Darste ®® ung der Fo ® ge der F ® ächeninha ® te an, we ® che zu dieser Angabe passt. A n + 1 = A n – 8 n _ 9 n + 1 , n * Z , A 0 = 1  A A n + 1 = 8 n _ 9 n + 1 , n * N , A 0 = 1  C A n + 1 = A n – 8 n _ 9 n + 1 , n * N , A 0 = 2  B A n + 1 = A n – 8 n _ 9 n + 1 , n * N , A 0 = 1  D c) Eine Mathematikerin erk ® ärt: „Der Sierpinski-Teppich besitzt keine F ® äche.“ Er ® äutere, wie man zu einer so ® chen Behauptung kommt und formu ® iere eine passende Rechnung, um diese Aussage zu be ® egen. d) Auf der Stufe 0 ist der Umfang des Sierpinski-Teppichs 4. Auf Stufe 1 kommt noch der Umfang des  „Loches“ dazu, a ® so 4 _ 3 2 U 1 = 4 + 4 _ 3 3 . Der Umfang auf der 2. Stufe ist U 2 = 4 + 4 _ 3 + 32 _ 9 . Die a ®® gemeine Forme ® des Umfangs wird fo ® gendermaßen beschrieben ( ; = Summenzeichen): U k = 4 + ; n = 1 k 8 n – 1 _ 3 n = 4 + ; n = 1 k 8 n _ 3 n · 8 = 4 + 1 _ 8 ; n = 1 k 2 8 _ 3 3 n Gib an, wie groß der Umfang ist, wenn k ¥ • . ® im k ¥ • U k = Typ 2 Sierpinski-Teppich: Stufe 0 Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Stufe 4 Stufe 5 Reihen 46 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv