Lösungswege Mathematik Oberstufe 6, Arbeitsheft

4.2 Symmetrie und Periodizität Symmetrie 54. Gib an, ob fo ® gende Funktion f gerade oder ungerade ist und begründe deine Behauptung. a) b) 55. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ‒ x  3 + 3 x 2 – 5 x. a) Skizziere den Graphen der Funktion und ste ®® e fest, ob es eine ungerade Funktion ist. b) In der fo ® genden Rechnung wird gezeigt, dass die Funktion ungerade ist. Finde den Feh ® er in der Berechnung. Für eine ungerade Funktion gi ® t: f(x) = ‒ f(‒ x) für a ®® e x * D.  Es wird f(‒ x) berechnet:  f(‒ x) = ‒ (‒ x) 3 + 3 · (‒ x) 2 – 5 · (‒ x) = x 3 – 3 x 2 + 5 x  Nun wird ‒ f(‒ x) berechnet:  ‒ f(‒ x) = ‒ (x 3 – 3 x 2 + 5 x) = ‒ x 3 + 3 x 2 – 5 x Verg ® eicht man nun ‒ f(‒ x) mit f(x), sieht man, dass die Ergebnisse g ® eich sind. Daher ist f eine ungerade Funktion. 56. Überprüfe durch Rechnung, ob f eine gerade oder ungerade Funktion ist. a) f(x) = 1 _ 2 x 4 – 2 x 2 – 3 b) f(x) = x 3 – 1 _ x Periodizität 57. Gib an, ob die Funktion f: R 0 + ¥ R periodisch ist oder nicht, und gib – wenn mög ® ich – die k ® einste Periode p an. Die Summe a ®® er k ® einsten Perioden so ®® te 13 ergeben. a) c) e) p = p = p = b) d) p = p = x f(x) f 4 8 12 16 – 16 – 12 –8 –4 4 8 –4 0 x f(x) f 4 8 12 16 – 16 – 12 –8 –4 4 8 12 0 x f(x) f 4 8 12 16 20 24 2 4 –2 0 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 –2 0 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 –2 0 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 –2 0 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 2 –2 0 15 Untersuchen reeller Funktionen | Symmetrie und Periodizität Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv