Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 98 Dynamische Systeme 4 280. Beim Lösen von Kochsa ® z in desti ®® iertem Wasser kann die ge ® öste Menge an Sa ® z einen bestimmten Wert (die Sättigungsgrenze) nicht überschreiten. Bei 100 g desti ®® iertem Wasser beträgt die Sättigungsgrenze 36 g Kochsa ® z. Beobachtungen zeigen, dass die Momentan geschwindigkeit, mit der sich die ge ® öste Sa ® zmenge y nach t Minuten ändert, direkt proportiona ® zur Menge des noch ® ösbaren Sa ® zes ist. Der Proportiona ® itätsfaktor ist 0,0501. Gib eine Differentia ® g ® eichung und deren Lösung für die Menge y(t) der nach t Minuten ge ® östen Kochsa ® zmenge an. Kontinuier ® iches ® ogistisches Mode ®® Eine Größe y ist in einem Zeitinterva ®® [t; t + Δ t] ® ogistisch wachsend mit der Wachstums- grenze W, wenn die mitt ® ere Änderungsrate in diesem Zeitinterva ®® direkt proportiona ® zum vorhandenen Bestand y(t) und zum noch vorhandenen Freiraum (W – y(t)) ist. D. h.   y(t + Δ t) – y(t) __ Δ t  = m· y(t) · (W – y(t)), m * ℝ . Strebt Δ t gegen nu ®® , gi ® t: ® im  Δ t ¥ 0   y(t + Δ t) – y(t) __ Δ t  = m· y(t) · (W – y(t)) bzw. y’(t) = m· y(t) · (W – y(t)). Die Lösung einer so ® chen Differentia ® g ® eichung ® autet y(t) =   y 0 ·W ___   y 0 + (W – y 0 ) · e ‒W·m·t (t * ℝ 0   + ) mit dem Anfangsbestand y 0 = y(0), der Wachstumsgrenze W und dem Freiraum W – y 0 . Kontinuier ® iches ® ogistisches Wachstum y(t) gibt den aktue ®® en Bestand, W die Wachstumsgrenze und (W – y(t)) den aktue ®® en Freiraum an. Sind y 0 der anfäng ® iche Bestand, (W – y 0 ) der anfäng ® iche Freiraum und m ein Proportiona ® itätsfaktor, gi ® t: y’(t) = m· y(t) · (W – y(t)) É y(t) =   y 0 ·W ___   y 0 + (W – y 0 ) · e ‒W·m·t Der zugehörige Graph der Funktion y(t) hat die Form: Anfäng ® ich ver ® äuft bei diesem Mode ®® die Entwick ® ung der Bestandsgröße näherungsweise exponentie ®® . Bei Annäherung an die Sättigungsgrenze kann die weitere Entwick ® ung der Bestandsgröße näherungsweise a ® s begrenztes Wachstum beschrieben werden. Daraus resu ® tiert auch der charakteristische Ver ® auf des zugehörigen Funktionsgraphen. 281. Die Funktion h(t) beschreibt die Höhe einer Hopfensorte in Metern nach t Wochen. Diese Hopfensorte kann eine maxima ® e Höhe von 6 Metern erreichen. Die momentane Höhenänderung zu jedem be ® iebigen Zeitpunkt t ist direkt proportiona ® zur aktue ®® en Höhe h und zum noch vorhandenen Freiraum. Bio ® ogen geben einen Proportiona ® itätsfaktor von 0,0634 an. Ste ®® e den Kontext durch eine Differentia ® g ® eichung dar und ® öse sie. 282. Zeige, dass y(t) =   1 __  1 + 9e ‒0,4t eine Lösung der Differentia ® g ® eichung y’(t) = 0,4 · y(t) · (1 – y(t)) mit y(0) = 0,1 ist. t y(t) 1 2 3 4 5 1 2 3 0 ® ogistisches Wachstum y Grenze W Ó Arbeitsb ® att Beispie ® e ® ogistisches Wachstum 3em7hh Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv