Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 97 Dynamische Systeme |  Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 276. Der Luftdruck p auf Meeresniveau beträgt normgemäß p 0 = 1 bar. Mit zunehmender Höhe nimmt der Luftdruck ab. Die momentane Änderungsrate des Luftdrucks in jeder be ® iebigen Höhe h (in Metern m) ist direkt proportiona ® zum Luftdruck in der aktue ®® en Höhe. Ste ®® e für die Abnahme des Luftdrucks eine Differentia ® g ® eichung auf und ® öse diese. 277. Bei einem Zerfa ®® sprozess gibt N(t) die Menge (in mg) des noch vorhandenen radioaktiven E ® ements t Minuten nach Beobachtungsbeginn an. a) Interpretiere die Differentia ® g ® eichung N’(t) = ‒ 0,005 ·N(t) in diesem Kontext und ® öse sie für N(0) = 8mg. b) Bestimme die Ha ® bwertszeit dieses radioaktiven E ® ements. Kontinuier ® iches beschränktes Mode ®® Ist eine Größe y in einem Zeitinterva ®® [t; t + Δ t] beschränkt wachsend mit der Wachstums- grenze W, ist die mitt ® ere Änderungsrate in diesem Zeitinterva ®® direkt proportiona ® zum noch vorhandenen Freiraum (W – y(t)). D. h. ​  y(t + Δ t) – y(t) __ Δ t  ​= m· (W – y(t)), m * ℝ . Strebt Δ t gegen nu ®® , gi ® t: ​ ® im    Δ t ¥ 0 ​  y(t + Δ t) – y(t) __ Δ t  ​= m· (W – y(t)) bzw. y’(t) = m· (W – y(t)). Die Lösung einer so ® chen Differentia ® g ® eichung ® autet y(t) = W – (W – y 0 ) · e ‒m·t (t * ​ ℝ ​ 0 ​  + ​) mit dem Anfangsbestand y 0 = y(0), der Wachstumsgrenze W und dem Freiraum W – y 0  . Kontinuier ® iches beschränktes Wachstumsmode ®® Die Bestandsgröße y wächst beschränkt, wenn die momentane Änderungsrate y’ direkt proportiona ® zum momentanen Freiraum ist. Mit der Anfangsbedingung y(0) = y 0 , der Wachs- tumsgrenze W und dem Freiraum W – y 0 gi ® t: y’(t) = m· (W – y(t))  É  y(t) = W – (W – y 0 ) · e ‒m·t Der zugehörige Graph der Funktion y ist in der Abbi ® dung dargeste ®® t. 278. Ein bei 220° C gebackener Kuchen wird in der 20° C warmen Küche auf den Tisch geste ®® t. Man weiß aus Beobachtungen, dass die momentante Temperaturänderung des Kuchens zu jedem be ® iebigen Zeitpunkt (in Minuten) rund 12,6% der Differenz zur Umgebungstemperatur beträgt.  a) Beschreibe die momentante Temperaturänderung durch eine Differentia ® g ® eichung und gib deren Lösung an.  b) Bestimme die Temperatur des Kuchens nach 15 Minuten. a) Für die Differentia ® g ® eichung gi ® t mit dem Proportiona ® itätsfaktor m = 12,6% = 0,126: y’(t) = 0,126 (20 – y(t)) Die Lösung der Differentia ® g ® eichung ist y(t) = 20 – (20 – 220) · e ‒0,126t = 20 + 200 · e ‒0,126t . b) Man setzt 15 in die Lösungsfunktion der Differentia ® g ® eichung ein: y(15) = 20 + 200 · e ‒0,126·15 ≈ 50,2. Nach 15 Minuten ist der Kuchen auf ca. 50° C abgeküh ® t. 279. Der Kaffee in einer Tasse hat eine momentane Temperatur von 80° C. Die Temperatur­ änderung des Kaffees in der Tasse ist zu jedem be ® iebigen Zeitpunkt (in Minuten) rund 20% der Differenz zur Umgebungstemperatur. Die Raumtemperatur beträgt 22° C. a) Gib eine Differentia ® g ® eichung und ihre Lösung für die momentane Temperaturänderung an. b) Bestimme die Temperatur des Kaffees nach drei Minuten. c) Berechne, nach wie vie ® en Minuten die Temperatur des Kaffees auf 35° C gesunken ist. t y(t) y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 0 Grenze W begrenztes Wachstum muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv