Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 96 Dynamische Systeme 4 Kontinuier ® iches exponentie ®® es Mode ®® Ändert sich eine Größe y in einem Zeitinterva ®® [t; t + Δ t] exponentie ®® , ist die mitt ® ere Ände- rungsrate in diesem Zeitinterva ®® direkt proportiona ® zu y(t). D. h. ​  y(t + Δ t) – y(t) __ Δ t  ​= m· y(t), m * ℝ . Strebt Δ t gegen nu ®® , gi ® t: ​ ® im  Δ t ¥ 0 ​  y(t + Δ t) – y(t) __ Δ t  ​= m· y(t) bzw. y’(t) = m· y(t). Die Lösung einer so ® chen Differentia ® g ® eichung ® autet y(t) = y 0  · e m·t mit dem Anfangs ­ bestand y 0 = y(0) und t * ​ ℝ ​ 0 ​  +  ​. Die Zah ® m * ℝ wird a ® s Proportiona ® itätsfaktor bezeichnet. Für m > 0 wird eine Zunahme und für m < 0 eine Abnahme mode ®® iert. Kontinuier ® iches exponentie ®® es Mode ®® Die Bestandsgröße y verändert sich exponentie ®® , wenn die momentane Änderungsrate y’ zu jedem be ® iebigen Zeitpunkt proportiona ® zum Bestand y ist. Mit der Anfangsbedingung y(0) = y 0 gi ® t: y’(t) = m· y(t)  É  y(t) = y 0  · e m·t  m > 0 Der zugehörige Graph der Funktion y ist in der Abbi ® dung dargeste ®® t. 273. Die Bakterienku ® tur in einer Petrischa ® e bedeckt zu Beginn der Beobachtung eine F ® äche von 10 cm 2 . Die momentane Änderungsrate des von den Bakterien bedeckten F ® ächeninha ® ts ist zu jedem be ® iebigen Zeitpunkt (in Stunden t) direkt proportiona ® zum aktue ®® en F ® ächen­ inha ® t. Der Proportiona® itätsfaktor ist 0,02. a) Beschreibe den Änderungsprozess des von der Bakterienku ® tur bedeckten F ® ächeninha ® ts y(t) (in cm 2 ) nach t Stunden durch eine Differentia ® g ® eichung und ® öse sie. b) Bestimme den von den Bakterien bedeckten F ® ächeninha ® t nach 4,75 Stunden. c) Gib die Zeit an, nach der sich der F ® ächeninha ® t verdreifacht hat. a) Es gi ® t: y’(t) = 0,02 · y(t). Ausgehend von y 0 = 10 cm 2 gi ® t für die Lösung: y(t) = 10 · e 0,02·t . b) Setzt man 4,75 in die Lösung der Differentia ® g ® eichung ein, erhä ® t man den nach dieser Zeitspanne durch die Bakterienku ® tur bedeckte F ® ächeninha ® t: y(4,75) ≈ 11 cm 2 c) Man sucht die Zeit, nach der y(t) = 3 ·10 = 30 cm 2 ist. Dazu ® öst man die dazugehörige Exponentia ® g ® eichung: 30 = 10 · e 0,02·t w  3 = e 0,02·t w ® n(3) = 0,02 · t  w  t = ​  ® n (3) _ 0,02  ​≈ 54,93 Nach rund 55 Stunden hat sich der F ® ächeninha ® t verdreifacht. 274. Eine Ze ®® ku ® tur auf einem Nährboden nimmt eine F ® äche von 20 cm 2 ein. Die momentane Änderungsrate des von der Ze ®® ku ® tur bedeckten F ® ächeninha ® ts ist zu jedem be ® iebigen Zeitpunkt (in Stunden) direkt proportiona ® zum aktue ®® en F ® ächeninha ® t. Der Proportiona ® itätsfaktor beträgt 0,03. a) Ste ®® e eine Differentia ® g ® eichung für das Wachstum der Ze ®® ku ® tur auf und ® öse sie. b) Berechne den F ® ächeninha ® t der Ze ®® ku ® tur nach 4,25 Stunden. c) Bestimme, nach wie vie ® en Stunden sich der F ® ächeninha ® t verdoppe ® t hat. 275. Bei einem exponentie ®® en Änderungsprozess ist die momentane Änderungsrate zu jedem be ® iebigen Zeitpunkt 25% des aktue ®® en Bestandes y. Kreuze die Differentia ® g ® eichung an, die diesen Vorgang korrekt beschreibt. A  B  C  D  E  F  y’(t) = 16 · y(t) y’(t) = 4 · y(t) 2 · y’(t) = y(t) 4 · y’(t) = y(t) y’(t) = ​  1 _ 2 ​· y(t) y’(t) = 2 · y(t) Ó Vertiefung Kontinuier ® iches exponentie ®® es Wachstumsmode ®® b3cm8n t y(t) y exponentielles Wachstum 5 10 15 – 10 –5 5 10 15 20 0 muster Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv