Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 95 Dynamische Systeme |  Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 268. Löse die Differentia ® g ® eichung mit der gegebenen Anfangsbedingung. a) y’(t) = 0,4 · (12 – y(t)) y(0) = 2 d) y’(t) = (7 – y(t)) y(0) = 5 b) y’(t) = 3 · (10 – y(t)) y(0) = 1 e) y’(t) = 0,2 · (30 – y(t)) y(0) = 10 c) y’(t) = 0,5 · (20 – y(t)) y(0) = 4 f) y’(t) = 2 · (11 – y(t)) y(0) = 3 269. Löse die Differentia ® g ® eichung mit der gegebenen Bedingung. a) y’(t) = 0,1 · (3 – y(t)) y(1) = 4 d) y’(t) = 2,2 · (8 – y(t)) y(1) = 1 b) y’(t) = 2 · (8 – y(t)) y(3) = 1 e) y’(t) = 4 · (30 – y(t)) y(5) = 6 c) y’(t) = 0,2 · (30 – y(t)) y(2) = 5 f) y’(t) = 5 · (11 – y(t)) y(6) = 2 Kontinuier ® iches ® ineares Wachstumsmode ®® und Abnahmemode ®® Wird die Änderung einer Bestandsgröße y zu jedem be ® iebigen denkbaren Zeitpunkt ohne Zeit ® ücken betrachtet, spricht man von einem kontinuier ® ichen Wachstums- bzw Abnahme- mode ®® . Dabei beschreibt y 0 den Bestand zu Beginn der Beobachtung. Ist dabei die momentane Änderungsrate konstant k, ändert sich der Bestand y ® inear. Mathe- matisch wird die momentane Änderungsrate durch die erste Ab ® eitung beschrieben. D. h. die kontinuier ® iche ® ineare Änderung der Bestandsgröße y(t) kann durch y’(t) = k beschrieben werden. Die so erha ® tene Differentia ® g ® eichung hat die Lösung y(t) = k · t + y 0 mit t * ​ ℝ ​ 0 ​  +  ​. Kontinuier ® iches ® ineares Mode ®® Die Bestandsgröße y verändert sich ® inear, wenn die momentane Änderungsrate zu jedem be ® iebigen Zeitpunkt konstant ist. Mit der Anfangsbedingung y(0) = y 0 gi ® t: y’(t) = k  w  y(t) = k · t + y 0 mit t * ​ ℝ ​ 0 ​  +  ​ 270. Ein vom Boden einer Höh ® e emporwachsender Tropfstein (Sta ® agmit) hat eine Höhe von 1 200mm. Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit ist 3mm/Jahr. Mode ®® iere die Änderung der Höhe des Sta ® agmiten durch eine Differentia ® g ® eichung und gib deren Lösung an. Bestimme die Höhe des Sta ® agmiten nach 20,5 Jahren. Für die Höhenänderung gi ® t die Differentia ® g ® eichung y’(t) = 3. Mit y 0 = 1 200mm hat diese Differentia ® g ® eichung die Lösung: y(t) = 3 t + 1 200, t * ​ ℝ ​ 0 ​  + Nach 20,5 Jahren hat der Sta ® agmit eine Höhe von y(20,5) = 3 · 20,5 + 1 200 = 1 261,5mm erreicht. 271. Ein Gärtner pf ® anzt einen Baum. Zu diesem Zeitpunkt ragt er einen Meter aus dem Boden heraus. Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit ist 10 cm/Jahr. a) Beschreibe die Höhenänderung des Baumes (in Metern m) durch eine Differentia ® g ® eichung, gib deren Lösung an und berechne die Höhe des Baumes nach 10,75 Jahren. b) Berechne, nach wie vie ® en Jahren der Baum eine Höhe von fünf Metern erreicht hat. 272. Der Wirkstoff eines Medikaments wird vom Körper abgebaut, wobei y(t) die Wirkstoffmenge (in mg) im Körper t Stunden nach Einnahme des Medikaments beschreibt. Es gi ® t y’(t) = ‒ 0,1. a) Interpretiere die G ® eichung y’(t) = ‒ 0,1 im Kontext. b) Nach wie vie ® en Stunden ist ein Wirkstoff (y(0) = 150mg) vom Körper abgebaut? muster Ó Arbeitsb ® att weitere Beispie ® e zu kont. ® in. Wachstums­ mode ®® en 5j7728 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv