Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 94 Dynamische Systeme 4 265. Löse die Differentia ® g ® eichung y’(t) = ‒ 2 y(t) mit P = (‒ 2 1 1). Durch Trennung der Variab ® en erhä ® t man die a ®® gemeine Lösung der G ® eichung: ​  dy _ dt ​= ‒ 2 y  w  ​  1 _ y ​dy = ‒ 2 · dt  w  ​ :  ​  ​ 1 _ y ​dy = ​ :  ​  ​ ‒ 2​· dt ® n(y) = ‒ 2 t + c  | e () y = e ‒2t + c = e ‒2t  · e c = e ‒2t  · r Man setzt P = (‒ 2 1 1) ein und erhä ® t einen ree ®® en Wert für r: 1 = e ‒2·(‒2)  · r  w  ​  1 _  ​e​ 4 ​ ​= r Die spezie ®® e Lösung der Differentia ® g ® eichung ® autet: y(t) = ​  1 _  ​e​ 4 ​ ​· e ‒2t 266. Löse die Differentia ® g ® eichung mit der gegebenen Bedingung. a) y’(t) = ‒ y(t) y(3) = 1 d) y’(t) = 1,5 y(t) P = (1 1 ‒1) b) y’(t) = 5 y(t) y(‒1) = 2 e) y’(t) = ‒ 3,4 y(t) P = (‒ 3 1 ‒1) c) y’(t) = 4 y(t) y(4) = 5 f) y’(t) = 0,2 y(t) P = (‒ 4 1 5) Lösen der Differentia ® g ® eichung y’(t) = m· (W – y(t)) mit m, W * ℝ Differentia ® g ® eichungen dieser Art ® assen sich mit der Methode der Trennung der Variab ® en ® ösen. Man setzt y’(t) = ​  dy _ dt ​und verwendet die vereinfachte Schreibweise y(t) = y: ​  dy _ dt ​= m· (W – y)  w  ​  1 _  W – y ​dy = m· dt ​ :  ​  ​ 1 _  W – y ​dy = ​ :  ​  ​ m​· dt | Lösen durch Substitution ‒  ® n(W – y) + c 1 = m· t + c 2 | – c 1 ‒  ® n(W – y) = m· t + c | · (‒1); c 2 – c 1 = c ® n(W – y) = ‒m· t – c | e ( ) W – y = e ‒m·t – c = e ‒m·t  · e ‒c = e ‒m·t  · r | r = e ‒c W – e ‒m·t  · r = y y(t) = W – e ‒m·t  · r … a ®® gemeine Lösung der  Differentia ® g ® eichung Mit der Anfangsbedingung y 0 = y(0) gi ® t: y 0 = W – e ‒m·0  · r = W – e 0  · r = W – r  w  y 0 – W = – r  w  r = W – y 0 Durch Einsetzen in die a ®® gemeine Lösung erhä ® t man die spezie ®® e Lösung der G ® eichung: y(t) = W – e ‒m·t  · (W – y 0 ) = W – (W – y 0 ) · e ‒m·t Lösung der Differentia ® g ® eichung y’(t) = m· (W – y(t)) Ist y’(t) = m· (W – y(t)) eine Differentia ® g ® eichung mit der Anfangsbedingung y(0) = y 0  , dann ® autet die Lösung: y(t) = W – (W – y 0 ) · e ‒m·t 267. Löse die Differentia ® g ® eichung y’(t) = 0,2 · (10 ‒ y(t)) mit y(0) = 4 schrittweise. Man formt die G ® eichung um und trennt dadurch die Variab ® en. Danach wird integriert: ​  dy _ dt ​= 0,2 · (10 – y)  w  ​  1 _  10 – y ​dy = 0,2 dt  w  ​ :  ​  ​ 1 _  10 – y ​dy = ​ :  ​  ​ 0,2​dt  w ® n(10 – y) = ‒ 0,2 t – c  w 10 – y = e ‒0,2t  · e ‒c bzw. y = 10 – e ‒0,2t  · e ‒c = 10 – r · e ‒0,2t  Da y(0) = 4 ist, gi ® t: 4 = 10 – r · e ‒0,2·0 w  r = 6 Die spezie ®® e Lösung der Differentia ® g ® eichung ® autet: y(t) = 10 – 6 · e ‒0,2t muster muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv