Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

techno- logie Merke 93 Dynamische Systeme |  Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 263. Löse die Differentia ® g ® eichung mit der gegebenen Bedingung. a) y’(t) = ‒ 2 y(‒ 2) = 3 d) y’(t) = 0,5 P = (1 1 1) b) y’(t) = 6 y(4) = ‒ 5 e) y’(t) = 1,8 P = (5 1 ‒ 2) c) y’(t) = 1 y(2) = 2 f) y’(t) = ‒ 2,4 P = (‒7 1 ‒1) Lösen von Differentia ® g ® eichungen Geogebra: LöseDg ® [G ® eichung, Anfangsbedingung] Beispie ® : LöseDg ® [y’ = 5, (0, ‒ 3)] w y = 5 t – 3 TI-Nspire: deSo ® ve(G ® eichung and Bedingung, t, y) Beispie ® : deSo ® ve(y’ = 5 and y(0) = ‒ 3, t, y) w  y = 5 t – 3 Lösen der Differentia ® g ® eichung y’(t) = m· y(t) mit m * ℝ In dieser Art von Differentia ® g ® eichungen treten ein Vie ® faches der Bestandsgröße y und deren Ab ® eitung y’ gemeinsam auf. Da y’(t) = ​  dy _ dt ​gi ® t, kann man die Differentia ® g ® eichung umschreiben: ​  dy _ dt ​= m· y(t) bzw. ​  dy _ dt ​= m· y (vereinfachte Schreibweise) Jetzt fo ® gt die sogenannte Trennung der Variab ® en . Die Methode „Trennung der Veränder® ichen“ geht auf Johann Bernou ®® i zurück, der sie 1694 in einem Brief an Gottfried Wi ® he ® m Leibniz verwendete. Beachte, dass es sich beim Ausdruck ​  dy _ dt ​um keinen Bruch im eigent ® ichen Sinn hande ® t. Die Vorgangsweise, ihn dennoch so zu behande ® n, führt aber zu einer Lösung der Differentia ® g ® eichung. ​  dy _ dt ​= m· y | · dt   w   dy = m· y · dt | : y   w   ​  1 _ y ​dy = m· dt Man integriert nun auf beiden Seiten der G ® eichung und erhä ® t die a ®® gemeine Lösung der Differentia ® g ® eichung . Dabei ist zu beachten, dass auf der ® inken Seite der G ® eichung eine andere Integrationsvariab ® e auftritt a ® s auf der rechten Seite: ​ :  ​  ​ 1 _ y ​dy = ​ :  ​  ​ m​· dt   w ® n(y) + c 1 = m· t + c 2   | – c 1 ® n(y) = m· t + c 2 – c 1   (c 2 – c 1 wird durch die ree ®® e Zah ® c ersetzt) ® n(y) = m· t + c    | e ()     y = y(t) = e m·t + c = e m·t  · e c = e m·t  · r (e c wird durch r ersetzt) Mit der Anfangsbedingung y 0 = y(0) bestimmt man durch Einsetzen den Wert der ree ®® en Zah ® r und somit die spezie ®® e Lösung der Differentia ® g ® eichung: y(0) = e m·0  · r = r = y 0 w  y = y 0  · e m·t Lösung der Differentia ® g ® eichung y’(t) = m · y(t) Ist y’(t) = m· y(t) eine Differentia ® g ® eichung mit der Anfangsbedingung y(0) = y 0  , dann ® autet die Lösung: y(t) = y 0  · e m·t 264. Löse die Differentia ® g ® eichung schrittweise. a) y’(t) = 2 y(t) y(0) = 1 d) y’(t) = ‒ 3 y(t) y(0) = ‒1 b) y’(t) = y(t) y(0) = ‒ 4 e) y’(t) = 0,2 y(t) y(0) = 0 c) y’(t) = ‒ y(t) y(0) = 3 f) y’(t) = 0,1 y(t) y(0) = 0,2 Ó Techno ® ogie An ® eitung Lösen von Differentia ® g ® eichungen 4w3r7x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv