Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 92 kompe- tenzen 4.2 Kontinuier ® iche Wachstumsmode ®® e und Abnahmemode ®® e Lernzie ® e: º º Einfache Differentia ® g ® eichungen ® ösen können º º Kontinuier ® iche ® ineare und exponentie ®® e Wachstumsmode ®® e erkennen und anwenden können º º Kontinuier ® iche beschränkte Wachstumsmode ®® e erkennen und anwenden können Um die diskreten Änderungsmode ®® e auf den kontinuier ® ichen Fa ®® erweitern zu können, werden im Fo ® genden Differentia ® g ® eichungen und deren Lösungen besprochen. Lösen der Differentia ® g ® eichung y’(t) = m mit m * ℝ Kommt in einer G ® eichung die Ab ® eitung y’ einer Bestandsgröße y vor, spricht man von einer Differentia ® g ® eichung. y wird a ® s Lösung der Differentia ® g ® eichung bezeichnet. Dabei ist zu beachten, dass y eine Funktion darste ®® t. Wenn die Bestandsgröße von der Zeit abhängt (d. h. eine Funktion der Zeit ist), schreibt man y(t) bzw. y’(t). Im Fo ® genden so ®® en die Lösungen von Differentia ® g ® eichungen der Art y’(t) = m bestimmt werden. Die Lösung der Differentia ® g ® eichung y’(t) = m kann durch eine unbestimmte Integration gefunden werden: y(t) = ​ :  ​  ​ y’(t)​dt = ​ :  ​  ​ m​· dt = m· t + c  w a ®® gemeine Lösung der Differentia ® g ® eichung y 0 = y(0) ist die Bestandsgröße zu Beginn der Beobachtung, die Anfangsbedingung . Mit der Anfangsbedingung kann ein Wert für c * ℝ konkret bestimmt werden: y 0 = y(0) = m· 0 + c = c  w  y(t) = m· t + y 0 w spezie ®® e Lösung der Differentia ® g ® eichung Lösung der Differentia ® g ® eichung y’(t) = m Ist y’(t) = m eine Differentia ® g ® eichung mit der Anfangsbedingung y(0) = y 0  , dann ® autet die Lösung: y(t) = m· t + y 0 Auch der Wert der Bestandsgröße y zu jedem anderen Zeitpunkt kann a ® s Bedingung zum Auffinden der spezie ®® en Lösung der Differentia ® g ® eichung verwendet werden. 261. Löse die Differentia ® g ® eichung y’(t) = ‒ 4 mit der Bedingung y(3) = 1 bzw. P = (3 1 1). Dabei ist P ein Punkt auf dem Graphen der gesuchten Funktion y. Man bestimmt zuerst die a ®® gemeine Lösung der Differentia ® g ® eichung durch Integrieren: y(t) = ​ :  ​  ​ y’(t)​dt = ​ :  ​  ​ ‒ 4​· dt = ‒ 4 · t + c Durch Einsetzen der gegeben Bedingung erhä ® t man den Wert für c: y(3) = ‒ 4 · 3 + c = 1  w  ‒12 + c = 1  w  c = 13 Die spezie ®® e Lösung der Differentia ® g ® eichung ® autet y(t) = ‒ 4 t + 13. 262. Löse die Differentia ® g ® eichung mit der gegebenen Anfangsbedingung. a) y’(t) = 3 y(0) = 2 d) y’(t) = ‒ 9 y(0) = ‒ 5 b) y’(t) = ‒11 y(0) = 4 e) y’(t) = 7 y(0) = 0 c) y’(t) = 10 y(0) = 7 f) y’(t) = ‒1 y(0) = 1 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv