Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

91 Dynamische Systeme | Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 256. Eine Tasse Tee wird abgeküh ® t. Zu Beginn beträgt die Temperatur der F ® üssigkeit 90° C. Die Umgebungstemperatur ist 20° C. y n gibt die Temperatur des Tees nach n Minuten an. Die Temperatur änderung erfo ® gt direkt proportiona ® zur Temperaturdifferenz zwischen der Temperatur des Tees und der Umgebungs temperatur. Der Proportiona ® itätsfaktor ist 4,5%. Ste ®® e für y n eine Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 – y n = k · (W – y n ) auf und bringe diese auf die Darste ®® ung y n + 1 = a · y n + b. 257. Von einer Größe y n nach n Tagen mit y 0 = 12 ist bekannt, dass die abso ® ute Änderung von y n und y n + 1 direkt proportiona ® zu (50 – y n ) ist. Der Proportiona ® itätsfaktor ist 2,5%. Ste ®® e eine ® ineare Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = a · y n + b auf. 258. Gegeben ist eine ® ineare Differenzeng ® eichung. Bestimme für die Bestandsgröße – wenn mög® ich – die Wachstumsgrenze W und gib die G ® eichung in der Form y n + 1 – y n = k · (W – y n ) an. a) y n + 1 = 0,5 · y n + 8, y 0 = 4 e) y n + 1 = 0,9 · y n + 40, y 0 = 35 b) y n + 1 = 0,34 ·y n + 25, y 0 = 100 f) y n + 1 = 0,05 · y n + 7800, y 0 = 14 c) y n + 1 = 0,2 · y n + 5, y 0 = 8 g) y n + 1 = 0,8 · y n + 3, y 0 = 30 d) y n + 1 = 1,3 ·y n + 4, y 0 = 5 h) y n + 1 = 0,4 · y n – 5, y 0 = 1 200 259. Für eine Bestandsgröße y n gi ® t der Zusammenhang y n + 1 – y n = k · (W – y n ), W > 0, 0 < k < 1. W wird a ® s Wachstumsgrenze, W – y n a ® s Freiraum bezeichnet. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Die G ® eichung kann auf die Form y n + 1 = a · y n + b mit a > 1 und b > 0 gebracht werden.  B Der Zuwachs pro Zeiteinheit ist direkt proportiona ® zur Wachstumsgrenze.  C Mit zunehmender Zeit wird der Zuwachs immer geringer.  D Es ® iegt ein diskretes Wachstumsmode ®® vor.  E Die G ® eichung kann auf die Form y n + 1 = a · y n + b mit 0 < a < 1 und b > 0 gebracht werden.  260. Eine Pf ® anzenku ® tur vermehrt sich auf der Wasseroberf ® äche. Für die durch die Pf ® anzenku ® tur be ® egte F ® äche y n nach n Wochen (in dm 2 ) gi ® t: y n + 1 = 0,99 · y n + 300, y 0 = 1 Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Die von der Pf ® anzenku ® tur be ® egte F ® äche nimmt jede Woche ab.  B Laut diesem Mode ®® werden nicht mehr a ® s 300 000 dm 2 be ® egt sein.  C Es ® iegt ein unbeschränktes Wachstum vor.  D Je ® änger die Pf ® anzenku ® tur existiert, desto geringer ist ihr Zuwachs.  E Die durch die Pf ® anzenku ® tur be ® egte F ® äche nimmt exponentie ®® zu.  AN 1.4 Ó Arbeitsb ® att weitere Maturaformate zu Differenzen g ® eichungen cw6t8f AN 1.4 AN 1.4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv