Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 90 Dynamische Systeme 4 Die Wachstumsgrenze – y n + 1 = a · y n + b, 0 < a < 1, b > 0 Wie in der Tabe ®® e auf S. 89 gezeigt, gibt es für den Fa ®® 0 < a < 1 und b > 0 eine Wachstums grenze W =   b _  1 – a . Mit den fo ® genden Umformungen kann man zeigen, dass bei derartigen Systemen die abso ® ute Änderung zweier aufeinanderfo ® genden Zeiteinheiten direkt propor- tiona ® zur Differenz W – y n (auch Freiraum genannt) ist. Der Freiraum gibt den Bereich an, in dem die Bestandsgröße noch wachsen kann. Es gi ® t: y n + 1 = a · y n + b | – y n w y n + 1 – y n = y n · (a – 1) + b = b – (1 – a) · y n Hebt man nun (1 – a) heraus, erhä ® t man: y n + 1 – y n = (1 – a) · 2    b _  1 – a – y n   3 w y n + 1 – y n = (1 – a) · (W – y n ) Diskretes beschränktes Mode ®® Eine ® ineare Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = a · y n + b mit 0 < a < 1 und b > 0 kann auf y n + 1 – y n = k · (W – y n ) mit W =   b _  1 – a und k = 1 – a umgeformt werden. Dabei wird W a ® s Wachstumsgrenze und W – y n a ® s Freiraum bezeichnet. Die abso ® ute Änderung zweier aufeinanderfo ® genden Zeiteinheiten y n und y n + 1 ist direkt proportiona ® zur Differenz W – y n . 253. Die Ausdehnung einer Bakterienku ® tur wird täg ® ich vermessen. In einer 80 cm 2 großen Petrischa ® e ste ®® t man am ersten Tag eine F ® äche von 2 cm 2 fest. Die von den Bakterien eingenommene F ® äche nimmt täg ® ich um 20% der noch freien F ® äche der Petrischa ® e zu. y n beschreibt die Ausdehnung der Bakterien in der Petrischa ® e in cm 2 nach n Tagen. Ste ®® e für y n eine Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 – y n = k · (W – y n ) auf und bringe diese auf die Darste ®® ung y n + 1 = a · y n + b. Durch die F ® äche der Petrischa ® e ist eine Wachstumsgrenze W = 80 cm 2 gegeben. Der Proportiona ® itätsfaktor ist k = 20% = 0,2. Für die Differenzeng ® eichung gi ® t: y n + 1 – y n = 0,2 · (80 – y n ) = 16 – 0,2 y n mit y 0 = 2 cm 2 Durch Umformung erhä ® t man die rekursive Darste ®® ung y n + 1 = y n + 16 – 0,2 y n = 0,8 y n + 16 mit y 0 = 2 cm 2 . 254. Die Ausdehnung einer Bakterienku ® tur wird täg ® ich vermessen. In einer 95 cm 2 großen Petrischa ® e ste ®® t man am ersten Tag eine F ® äche von 5 cm 2 fest. Der von den Bakterien eingenommene F ® ächeninha ® t nimmt täg ® ich um 15% des noch freien F ® ächeninha ® ts der Petrischa ® e zu. y n beschreibt die Ausdehnung der Bakterien in der Petrischa ® e in cm 2 nach n Tagen. Ste ®® e für y n eine Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 – y n = k · 2 W – y n   3 auf und bringe diese auf die Darste ®® ung y n + 1 = a · y n + b. 255. Die Tierpopu ® ation in einem bestimmten Gebiet besteht zu Beginn aus zehn Tieren. Man nimmt an, dass in diesem Gebiet nicht mehr a ® s 1 000 Tiere dieser Art ® eben können. Jähr ® ich wächst die Tierpopu ® ation um 12% des noch vorhandenen Freiraums. y n beschreibt die Anzah ® der Tiere nach n Jahren. Ste ®® e für y n eine Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 – y n = k · (W – y n ) auf und bringe diese auf die Darste ®® ung y n + 1 = a · y n + b. muster Ó Arbeitsb ® att diskretes beschränktes Wachstum a2yw2q Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv