Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke techno- logie 9 Stammfunktionen | Stammfunktionen – das unbestimmte Integral Das unbestimmte Integra ® Das Auffinden von Stammfunktionen wird unbestimmtes Integrieren genannt. Dafür führt man eine neue Schreibweise ein: :    f(x)dx. Ist F eine Stammfunktion von f, so schreibt man F(x) + c = :    f(x)dx (c * R ). Die im Integra ® vorkommende Funktion f wird a ® s Integrand bezeichnet, die unabhängige Variab ® e x a ® s Integrationsvariab ® e . Das Integra ® zeichen :    erinnert an ein S wie Stammfunktion. Es wird im Kapite ® 2 noch eine genauere Bedeutung erha ® ten. Der Ausdruck dx wird a ® s Differentia ® bezeichnet und zeigt, we ® che Variab ® e die unabhängige Variab ® e ist. Auch dieser Tei ® wird im Kapite ® 2 k ® arer werden. Unbestimmtes Integra ® Ist f eine auf einem Interva ®® I definierte stetige Funktion und ist F eine Stammfunktion von f, dann gi ® t: :    f(x)dx = F(x) + c 1 Gi ® t für eine Funktion G G(x) + c 2 = :    f(x) dx, dann fo ® gt: F(x) – G(x) = c c * ℝ Das Integrieren ist (bis auf eine additive Integrationskonstante c * ℝ ) die Umkehrung zum Differenzieren . Anmerkung: Der Zusammenhang F(x) + c = :    f(x)dx wird manchma ® durch F + c = :    f abgekürzt. In der Tabe ®® e werden nun einige Rege ® n für das Finden von Stammfunktionen (Integrieren) angegeben. Diese Rege ® n werden durch Differenzieren bewiesen. Integrationsrege ® n Funktion unbestimmtes Integra ® Beweis 1 f(x) = r (r * ℝ) F(x) = :    rdx = r x + c F’(x) = r 2 f(x) = x r (r * ℝ \{‒1}) F(x) = :    x r dx =   x r + 1 _ r + 1 + c F’(x) = (r + 1)   x r _  r + 1 = x r 3 f(x) = x ‒1 F(x) = :    x ‒1 dx = ® n † x † + c F’(x) = x ‒1 4 f(x) = sin(x) F(x) = :    sin(x)dx = ‒ cos(x) + c F’(x) = ‒ (‒ sin(x)) = sin(x) 5 f(x) = cos(x) F(x) = :    cos(x)dx = sin(x) + c F’(x) = cos(x) 6 f(x) = e x F(x) = :    e x dx = e x + c F’(x) = e x 7 f(x) = a x (a * ℝ + \{1}) F(x) = :    a x dx =   a x _  ® n(a)  + c F’(x) =   a x _  ® n(a) · ® n(a) = a x Berechnung eines unbestimmten Integra ® s einer Funktion f Geogebra: Integra ® (f,x) Beispie ® : Integra ® (3 x + 5,x)   3 _ 2 x 2 + 5 x TINspire: Integra ® (f,x) oder Menü 4 3 Beispie ® : Integra ® (3 x + 5,x)   3x 2 _ 2  + 5 x 8. a) Berechne: :    x   3 _ 8 dx b) Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x) = 5. a) Durch Anwendung von Rege ® 2 erhä ® t man: :    x   3 _ 8 dx =   x   11 _  8 _    11 _  8 + c =   8 · x   11 _  8 _ 11  + c b) Eine Stammfunktion von f erhä ® t man durch Integrieren: F(x) = :    5dx = 5 x + c Ó Techno ® ogie An ® eitung Das unbestimmte Integra ® p53h75 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv