Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 89 Dynamische Systeme | Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 251. Die Menge eines Bestands nach n Zeiteinheiten wird mit y n bezeichnet. Die Veränderung des Bestands ist durch eine ® ineare Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = a · y n , y 0 = 2 gegeben. a) Die Menge des Bestands y kann auch durch eine Exponentia ® funktion y mit y(x) = u · b x mode ®® iert werden. Gib an, we ® che Zusammenhänge zwischen a, u, b und y 0 bestehen. b) We ® che Aussagen kann man für a > 1, 0 < a < 1 machen? Begründe deine Antwort. c) Ste ®® e die Werte der Differenzeng ® eichung y n + 1 = 0,5 · y n , y 0 = 10 in einem Koordinaten- system dar. Weitere diskrete Mode ®® e – y n + 1 = a · y n + b, a > 0, b ≠ 0 Betrachtet man Mode ®® e, die sich gemäß der Differenzeng ® eichung y n + 1 = a · y n + b, a > 0, b ≠ 0 verändern, so sind diese Mode ®® e für a ≠ 1 weder exponentie ®® noch ® inear. Je nach Wah ® der Parameter a und b können Aussagen über die Bestandsgröße getätigt werden. Die exp ® izite Form der Differenzeng ® eichung ist gegeben durch (siehe Anhang Beweise, Seite 281): y n = a n · y 0 + b ·   1 – a n _ 1 – a  Exp ® izite Darste ®® ung einer ® inearen Differenzeng ® eichung Die exp ® izite Form einer ® inearen Differenzeng ® eichung y n + 1 = a · y n + b mit dem Anfangs- wert y 0 ist gegeben durch: y n = a n · y 0 + b ·   1 – a n _ 1 – a  Wirkung der Parameter a und b Die fo ® gende Tabe ®® e gibt einen Überb ® ick über das Verha ® ten der Bestandsgröße in Abhängigkeit von den Parametern a und b. A ® s graphische Unterstützung verwende die nebenstehende On ® ine – Ergänzung. 0 < a < 1 a > 1 b > 0 Lässt man n gegen unend ® ich gehen, so erhä ® t man: ® im   n ¥ • y n = ® im    n ¥ • 2  a n y 0 + b ·   1 – a n _ 1 – a    3 =   b _  1 – a  In diesem Fa ®® gibt es eine Schranke, die nicht überschritten wird.   b _  1 – a wird Wachstumsgrenze W genannt. Betrachtet man die exp ® izite Form und ® ässt n gegen unend ® ich gehen, so wird y n immer größer. Es ® iegt ein unbeschränktes Wachstum vor. b < 0 Da beide Parameter eine Abnahme bewirken, wird die Größe y n ab einem bestimmten n den Wert 0 annehmen. Hier sind drei Verha ® tensmuster mög ® ich: y 1 > y 0 w unbeschränktes Wachstum y 1 = y 0 w der Bestand verändert sich nicht y 1 < y 0 w y n wird ab einem bestimmten n den Wert 0 annehmen 252. 1) Beschreibe in Worten, wie sich die Bestandsgröße y n von einer Zeiteinheit auf die nächste Zeiteinheit verändert. Gib weiters an, wie sich y n für größer werdende n verändert. 2) Bestimme die exp ® izite Darste ®® ung von y n . a) y n + 1 = 0,5· y n + 3, y 0 = 4 f) y n + 1 = 0,4· y n + 3, y 0 = 10 k) y n + 1 = 12· y n – 14, y 0 = 38 b) y n + 1 = 0,8· y n + 5, y 0 = 100 g) y n + 1 = 0,6· y n – 14, y 0 = 10 ® ) y n + 1 = 0,5· y n , y 0 = 1 c) y n + 1 = 0,4· y n – 20, y 0 = 10 h) y n + 1 = 2,9· y n + 25, y 0 = 4 m) y n + 1 = 2· y n + 5, y 0 = 8 d) y n + 1 = 0,98· y n – 35, y 0 = 30 i) y n + 1 = 3· y n – 5, y 0 = 5 n) y n + 1 = 0,8· y n – 10, y 0 = 50 e) y n + 1 = 1,5· y n + 14, y 0 = 10 j) y n + 1 = 5· y n – 120, y 0 = 30 Ó Techno ® ogie Darste ®® ung exponentie ®® er Mode ®® e q87f6r Ó Techno ® ogie Darste ®® ung Wirkung der Parameter s9k6r2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv