Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 87 Dynamische Systeme | Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 243. Gegeben ist ein Vorgang, der sich durch eine Differenzeng ® eichung beschreiben ® ässt. 1) Gib für y n eine ® ineare Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = a · y n + b an. 2) Gib eine exp ® izite Darste ®® ung für y n an und berechne y n für n = 5; 8 und 12. a) Die Mieten für Wohnraum steigen jähr ® ich um rund 3,5%. Gegenwärtig zah ® t jemand 780€ Miete. y n beschreibt die Höhe der Miete nach n Jahren. b) Das Ho ® zvo ® umen eines Wa ® des wird gegenwärtig auf 50 000m 3 geschätzt. Der Ho ® zbestand wächst jähr ® ich um rund 2,5%. y n gibt den Ho ® zbestand nach n Jahren an. 244. Kreuze jene Differenzeng ® eichung(en) an, die mit gegebenem Anfangswert y 0 = 20 eine exponentie ®® e Abnahme beschreibt (beschreiben). A  B  C  D  E  y n + 1 = 2 · y n y n + 1 = y n – 3 y n + 1 = 0,5 · y n y n + 1 = 0,2 · y n y n + 1 = y n + 5 245. Ergänze die Lücken so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht. Eine ® ineare Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = a · y n + b beschreibt genau dann eine exponentie ®® e Zunahme, wenn (1) und (2) ist. (1) (2) a > 1  b > 0  0 < a < 1  b < 0  a < 0  b = 0  Bringt man eine Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = a · y n mit a > 0 und y 0 auf die Form y n + 1 – y n = T(y n ), erhä ® t man: y n + 1 = a · y n | – y n w y n + 1 – y n = a · y n – y n w y n + 1 – y n = y n · (a – 1) Dabei ist fo ® gender Zusammenhang erkennbar: Diskretes exponentie ®® es Mode ®® – Eigenschaft Eine ® ineare Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = a · y n kann auf y n + 1 – y n = y n · (a – 1) umgeformt werden. Man erkennt, dass bei einem exponentie ®® en Mode ®® die Differenz y n + 1 – y n direkt proportiona ® zu y n ist. Dabei nennt man (a – 1) den Proportiona ® itätsfaktor. 246. Ein Organismus wird von 300 Viren befa ®® en, die sich stünd ® ich um 20% vermehren. y n gibt die Anzah ® der Viren an, die sich n Stunden nach dem Virenbefa ®® im Organismus befinden. a) Ste ®® e für y n eine ® ineare Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = a · y n + b auf und bringe diese auf die Darste ®® ung y n + 1 – y n = T(y n ). b) Beschreibe die Anzah ® der Viren im Organismus in exp ® iziter Form. a) Es gi ® t y 0 = 300. Da sich die Anzah ® der Viren stünd ® ich um 20% vermehren, gi ® t: a = 1,2 w y n + 1 = 1,2 · y n , y 0 = 300 Durch Subtraktion von y n , erhä ® t man: y n + 1 – y n = 0,2 · y n mit y 0 = 300 (Für den Proportiona ® itätsfaktor gi ® t: a – 1 = 1,2 – 1 = 0,2.) b) exp ® izite Form: y n = 300 ·1,2 n AN 1.4 AN 1.4 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv