Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 86 Dynamische Systeme 4 238. Die Bevö ® kerung eines Landes ist vom Jahr 2006 bis zum Jahr 2016 von 7 Mi ®® ionen auf 7,2 Mi ®® ionen gestiegen. Es wird angenommen, dass die Bevö ® kerung jähr ® ich um diese ® be Personenzah ® ansteigt. y n gibt die Bevö ® kerungszah ® in Mi ®® ionen nach n Jahren an. a) Beschreibe die Änderung der Einwohnerzah ® von einem Jahr zum nächsten durch eine ® ineare Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = a · y n + b. b) Beschreibe die Einwohnerzah ® des Landes in exp ® iziter Form und bestimme auf Basis dieses Mode ®® s die Einwohnerzah ® des Landes im Jahr 2025. 239. Der Anschaffungspreis eines Wagens beträgt 60 000€. Nach drei Jahren beträgt der Wert bei ® inearer Abschreibung (d. h. jedes Jahr vermindert sich der Wert um dense ® ben Betrag) nur mehr 37500€. y n gibt den Wert des Wagens nach n Jahren an. a) Beschreibe die Wertminderung des Wagens von einem Jahr zum nächsten durch eine ® ineare Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = y n + b. b) Gib den Wert des Wagens in exp ® iziter Form an und bestimme auf Basis dieses Mode ®® s die Anzah ® der Jahre, nach denen der Wert des Wagens 0€ beträgt. 240. Eine Kerze ist 15 cm hoch und brennt unter idea ® en Bedingungen in 30 Minuten vo ®® ständig ab. y n beschreibt die Höhe der Kerze nach n Minuten in cm. Ergänze den feh ® enden Wert: y n + 1 – y n = 241. Die Höhe y einer Pf ® anze nimmt in einem bestimmten Zeitraum wöchent ® ich um 2mm zu. Die Anfangshöhe beträgt 15mm. Beschreibe die Höhe (in mm) y n der Pf ® anze nach n Wochen durch eine Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = a · y n + b. 242. Die Menge eines Bestands nach n Zeiteinheiten wird mit y n bezeichnet. Die Veränderung des Bestands ist durch eine ® ineare Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = y n + b, y 0 = 2 gegeben. a) Die Menge des Bestands y kann auch durch eine ® ineare Funktion y mit y(x) = k x + d mode ®® iert werden. Gib an, we ® che Zusammenhänge zwischen k, d, b und y 0 bestehen. b) We ® che Aussagen kann man für b > 0, b < 0 bzw. b = 0 machen? Begründe deine Antwort. c) Ste ®® e die Werte der Differenzeng ® eichung y n + 1 = y n + 2, y 0 = 1 in einem Koordinatensystem dar. Diskretes exponentie ®® es Mode ®® – y n + 1 = a · y n , a > 0 Bei dieser Art von Differenzeng ® eichung erhä ® t man den Wert y n + 1 , indem man y n mit einem Faktor a mu ® tip ® iziert. Diese Eigenschaft erinnert für a > 0 an exponentie ®® e Funktionen. Aus diesem Grund nennt man dieses Mode ®® auch exponentie ®® es Mode ®® . Die exp ® izite Form erhä ® t man durch: y 1 = a · y 0 , y 2 = a · y 1 = a 2 · y 0 , y 3 = a · y 2 = a 3 · y 0 usw. w exp ® izite Form y n = a n · y 0 Ist a > 1, dann hande ® t es sich um eine exponentie ®® e Zunahme. Ist 0 < a < 1, dann hande ® t es sich um eine exponentie ®® e Abnahme und die Größe y geht für n gegen unend ® ich gegen nu ®® . Diskretes exponentie ®® es Mode ®® Das exponentie ®® e Mode ®® ist durch die ® ineare Differenzeng ® eichung y n + 1 = a · y n und den Anfangswert y 0 festge ® egt. Für die exp ® izite Darste ®® ung gi ® t: y n = a n · y 0 mit n * ℕ AN 1.4 AN 1.4 Ó Techno ® ogie Darste ®® ung ® ineare Mode ®® e qp4x6k Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv