Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 85 Dynamische Systeme |  Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Im Fo ® genden werden für die ® ineare Differenzeng ® eichung ​y​ n + 1 ​= a · ​y​ n ​+ b drei Fä ®® e betrachtet: –– ​y​ n + 1 ​= ​y​ n ​+ b (a = 1) –– ​y​ n + 1 ​= a · ​y​ n ​ (a > 0, b = 0) –– ​y​ n + 1 ​= a · ​y​ n ​+ b (a > 0, b be ® iebig) Diskretes ® ineares Mode ®® – ​y​ n + 1 ​= ​y​ n ​+ b Ist bei einer ® inearen Differenzeng ® eichung a = 1, so erkennt man durch Umformung, dass die abso ® ute Änderung pro Einheit konstant ist. Es gi ® t: ​ y​ n + 1 ​– ​y​ n ​= b Diese Eigenschaft erinnert an ® ineare Funktionen. Desha ® b spricht man in diesem Zusam- menhang von einem ® inearen Mode ®® . Die exp ® izite Form von y erhä ® t man durch: y 1 = y 0 + b, y 2 = y 1 + b = y 0 + 2 b, y 3 = y 2 + b = y 0 + 3 b, usw.  w  exp ® izite Form: y n = y 0 + n · b Bei diesen Über ® egungen ist zu beachten, dass eine Bestandsgröße y nicht zwangs ® äufig von der Zeit abhängig sein muss. Beschreibt y zum Beispie ® die Kosten für eine bestimmte Obstsorte, ist y abhängig von der gekauften Obstmenge. Gibt y n die Kosten für n gekaufte Ki ® ogramm dieser Obstsorte an, wird durch y n + 1 – y n = b der Ki ® opreis ausgedrückt. Diskretes ® ineares Mode ®® Das ® ineare Mode ®® ist durch die ® ineare Differenzeng ® eichung y n + 1 = y n + b und den Anfangswert y 0 festge ® egt. y n + 1 – y n = b beschreibt die abso ® ute Änderung des Bestands zwischen zwei aufeinanderfo ® genden Zeitpunkten. Für die exp ® izite Darste ®® ung gi ® t: y n = y 0 + n · k mit n * ℕ 236. Ein in einer Höh ® e hängender Tropfstein ist 1,034m ® ang und wächst jähr ® ich um 2mm. y n beschreibt die Länge des Tropfsteins nach n Jahren in Metern. a) Gib die Längenänderung des Tropfsteins von einem Jahr zum nächsten durch eine Differenzeng ® eichung an. b) Beschreibe die Länge des Tropfsteins in exp ® iziter Darste ®® ung. a) Da der jähr ® iche Längenzuwachs 2mm = 0,002m beträgt, gi ® t y n + 1 – y n = 0,002. b) Mit y 0 = 1,034 und k = 0,002 ergibt sich y n = 1,034 + 0,002 n. 237. Gegeben ist ein Vorgang, der sich durch eine Differenzeng ® eichung beschreiben ® ässt. 1) Begründe, dass es sich bei diesem Vorgang um ein diskretes ® ineares Wachstum hande ® t. 2) Gib eine Differenzeng ® eichung sowie eine exp ® izite Darste ®® ung von y an. a) Ein Leihwagen kostet 100€ Grundgebühr und pro gefahrenem Ki ® ometer werden 0,50€ verrechnet. Dabei gibt y n den Gesamtpreis für n gefahrene Ki ® ometer an. b) Dino nimmt sich vor, wöchent ® ich 15€ seines Taschenge ® des zu sparen. Dabei gibt y n den angesparten Betrag nach n Wochen an. c) Von einem Konto mit 2 300€ Guthaben werden monat ® ich k Euro abgebucht. Dabei beschreibt y n den Kontostand nach n Monaten. d) Ein 1,2 cm ® anger Fingernage ® wächst wöchent ® ich um 0,7mm. Dabei beschreibt y n die Länge des Fingernage ® s nach n Wochen. muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv