Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

84 Dynamische Systeme 4 234. Ste ®® e eine Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = a · y n + b auf und bringe diese auf die Darste ®® ung y n + 1 – y n = T(y n ). a) Der Betrag (in €) in einem Sparschwein nach n Tagen wird mit y n bezeichnet. Jeden Tag werden 5 Cent in dieses Sparschwein geworfen. Am Beginn ist das Sparschwein ® eer. b) Der Betrag (in €) auf einem Konto nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Jedes Jahr kommen 1% Zinsen dazu. Am Beginn sind 500€ auf dem Konto. c) Der Betrag (in €) auf einem Konto nach n Jahren ist y n . Jedes Jahr kommen 0,5% Zinsen dazu und es werden 200€ einbezah ® t. Am Beginn sind 500€ auf dem Konto. a) Da jeden Tag 5 Cent in das Sparschwein kommen, erhä ® t man y n + 1 , indem man zu y n 5 Cent addiert. Es gi ® t daher: y n + 1 = y n + 0,05, y 0 = 0€. Durch Umformung erhä ® t man: y n + 1 – y n = 0,05, y 0 = 0€ b) Da man jedes Jahr 1% Zinsen bekommt, erhä ® t man y n + 1 , indem man y n mit 1,01 mu ® tip ® iziert. Es gi ® t daher: y n + 1 = 1,01 · y n , y 0 = 500€. Um auf die Form y n + 1 – y n = T(y n ) zu kommen, sind Umformungen notwendig. y n + 1 = 1,01 · y n | – y n w y n + 1 – y n = 1,01 · y n – y n w y n + 1 – y n = 0,01 · y n c) Da man jedes Jahr 0,5% Zinsen bekommt, erhä ® t man y n + 1 , indem man y n mit 1,005 mu ® tip ® iziert. Da aber auch 200€ einbezah ® t werden, gi ® t: y n + 1 = 1,005 · y n + 200, y 0 = 500€. Um auf die Form y n + 1 – y n = T(y n ) zu kommen, sind Umformungen notwendig. y n + 1 = 1,005 · y n + 200 | – y n y n + 1 – y n = 1,005 · y n – y n + 200 w y n + 1 – y n = 0,005 · y n + 200 235. Ste ®® e eine Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = a · y n + b auf und bringe diese auf die Darste ®® ung y n + 1 – y n = T(y n ). Gib weiters die Werte der Parameter a und b an. a) Der Betrag (in €) in einem Sparschwein nach n Tagen wird mit y n bezeichnet. Jeden Tag werden 2€ aus diesem Sparschwein genommen. Am Beginn sind 50€ im Sparschwein. b) Die Länge eines Haars nach n Monaten wird mit y n bezeichnet. Das Haar wächst in einem Monat 0,9 cm. Am Beginn der Beobachtung ist das Haar 0,5 cm ® ang. c) Die Anzah ® der Einwohner einer Stadt nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Jedes Jahr vergrößert sich die Bevö ® kerung in dieser Stadt um 315 Personen. Am Beginn der Beobachtung waren 9 315 Personen in dieser Stadt. d) Der Betrag (in €) auf einem Konto nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Jedes Jahr kommen 0,8% Zinsen dazu. Am Beginn sind 1 500€ auf dem Konto. e) Die Anzah ® der Einwohner einer Stadt nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Jedes Jahr vergrößert sich die Bevö ® kerung in dieser Stadt um 2,3 Prozent. Am Beginn der Beobachtung waren 17215 Personen in dieser Stadt. f) Der Wert einer Maschine nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Jedes Jahr ver ® iert die Maschine 12% ihres Werts. Der Neuwert der Maschine war 39 800€. g) Der Betrag (in €) auf einem Konto nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Jedes Jahr kommen 0,8% Zinsen dazu. Weiters werden jedes Jahr 50€ abgehoben. Am Beginn sind 5 000€ auf dem Konto. h) Der Bestand eines Wa ® des (in m 3 ) nach n Jahren wird mit y n bezeichnet. Am Beginn waren 134 000m 3 Wa ® d vorhanden. Der Ho ® zbestand nimmt jähr ® ich um 2 Prozent zu. Außerdem werden am Anfang jedes Jahres 800m 3 Wa ® d gesch ® ägert. muster Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv