Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

Merke 83 kompe- tenzen 4.1 Diskrete Wachstumsmode ®® e und Abnahmemode ®® e Lernzie ® e: º º Diskrete ® ineare und exponentie ®® e Wachstumsmode ®® e erkennen und anwenden können º º Diskrete beschränkte Wachstumsmode ®® e erkennen und anwenden können º º Lineare Differenzeng ® eichungen aufste ®® en und ® ösen können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 1.4 Das systemdynamische Verha ® ten von Größen durch Differenzeng ® eichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können Lineare Differenzeng ® eichungen Wird die Änderung einer Bestandsgröße y z. B. jede ganze Sekunde, jede ganze Minute, jede ganze Stunde usw. betrachtet, spricht man von einem diskreten Wachstums- bzw. Abnahme- mode ®® (diskreten dynamischen System) . Dabei beschreibt y 0 den Bestand zu Beginn der Beobachtung, y 1 den Bestand nach einer Zeiteinheit usw. Diese Vorgänge werden oft mit Differenzeng ® eichungen beschrieben. (Wird die Änderung der Bestandsgröße hingegen zu jeder be ® iebigen (ree ®® en) Zeit zuge ® assen, hande ® t es sich um ein kontinuier® iches Wachstums- oder Abnahmemode ®® , das in 4.2 genauer betrachtet wird.) Lineare Differenzeng ® eichung Bezeichnet y n den Bestand einer Größe nach n Zeiteinheiten und ist y 0 gegeben, dann nennt man eine G ® eichung der Form y n + 1 = a · y n + b (a ≠ 0) eine ® ineare Differenzeng ® eichung. Anmerkungen –– Man nennt die Darste ®® ung y n + 1 = a · y n + b auch rekursive Darste ®® ung der Fo ® ge y n (vg ® . Lösungswege 6). Die Angabe einer Anfangsbedingung (z. B. y 0 ) ist unbedingt notwendig. –– Der Name „Differenzeng ® eichung“ kommt daher, dass man y n + 1 = a · y n + b auf die Form y n + 1 – y n = T(y n ) bringen kann, wobei T(y n ) ein Term in Abhängigkeit von y n ist. –– Es ist eine ® ineare Differenzeng ® eichung, da y n + 1 von y n nur ® inear abhängt. Dies bedeutet nicht, dass es sich hierbei um eine ® ineare Zu- oder Abnahme hande ® n muss. –– Die exp ® izite Darste ®® ung von y wird Lösung der Differenzeng ® eichung genannt. –– Auf den fo ® genden Seiten wird angenommen, dass y n keine negativen Werte annimmt. 233. Die Tabe ®® e enthä ® t Werte einer Größe zum Zeitpunkt n (n * ℕ ). Die zeit ® iche Entwick ® ung kann durch eine Differenzeng ® eichung der Form y n + 1 = a · y n + b beschrieben werden. Bestimme die Werte der beiden ree ®® en Parameter a und b. a) n 0 1 2 3 4 y n 13 23 43 83 163 b) n 2 3 6 7 y n 8139,5 32 555,5 2 083 499,5 8 333 995,5 Ste ®® e evt ® . ein ® ineares G ® eichungssystem mit zwei Unbekannten auf und ® öse dieses. AN 1.4 TIPP Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv