Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

81 Es wird nun k ® ar, dass man end ® os so weitermachen und immer wieder von Neuem einen grund ® egenderen Satz einfordern könnte. Schon seit Jahrtausenden versuchen Mathematike- rinnen und Mathematiker ein sicheres Fundament festzu ® egen. Dieses Fundament so ®® aus Sätzen bestehen, die man nicht mehr anzweife ® t. Sie so ®® en so einsichtig sein, dass man sie guten Gewissens a ® s richtig betrachten kann. Diese grund ® egenden, a ® s richtig angenommenen Basissätze nennt man Axiome . Die Axiome des Euk ® id Der Erste, von dem wir wissen, dass er versucht hat, einen ganzen Zweig der Mathematik aus wenigen Axiomen abzu® eiten, war Euk ® id (3 Jhdt. v. u. Z). Es ge ® ang ihm, die Geometrie aus nur fünf Axiomen zu entwicke ® n. Diese Geometrie nennt man die euk ® idische Geometrie ‒ sie umfasst die Geometrie in der Ebene. Dies ist die Geometrie, die man auf einem ebenen B ® att Papier mit B ® eistift, Linea ® und Zirke ® durchführen kann. Eines dieser fünf Axiome ist das sogenannte Para ®® e ® enaxiom . Es besagt (in einer abgewande ® ten Form): „Zu jeder Geraden g gibt es durch einen Punkt P außerha ® b der Geraden g genau eine Gerade p, die keinen Schnittpunkt mit der Geraden g hat.“ Die Gerade p nennt man die Para ®® e ® e zu g durch den Punkt P. Im 19. Jahrhundert kamen Mathematikerinnen und Mathematiker auf eine fast wagha ® sige Idee. Was passiert, wenn man eines dieser Axiome einfach abändert? Man ändert das Para ®® e ® enaxiom fo ® gendermaßen ab: „Es gibt zu keiner Geraden eine para ®® e ® e Gerade.“ Zwei Geraden schneiden einander a ® so immer! Das scheint zunächst absurd zu sein. Eine Auswirkung dieser Abänderung des Axioms wäre zum Beispie ® , dass der Beweis auf S. 80 von der Winke ® summe im Dreieck nicht mehr durchführbar ist, da man für seine Durchführung para ®® e ® e Geraden benötigen würde. Ein Dreieck hätte nicht mehr die Winke ® summe von 180°! Man erhä ® t eine neue Art der Geometrie – eine nichteuk ® idische Geometrie . Auf den ersten B ® ick scheint diese nichteuk ® idische Geometrie eher eine versponnene Spie ® erei zu sein, vö ®® ig fern der Rea ® ität, da wir doch „wissen“, dass es zu jeder Geraden eine para ®® e ® e Gerade gibt. Näher betrachtet ist diese Geometrie aber ganz und gar nicht unrea ® istisch. Führt man näm ® ich Geometrie auf einer Kuge ® oberf ® äche durch (z. B. auf der Erde), dann sehen Dreiecke ganz anders aus, a ® s auf einem ebenen B ® att Papier. Die Seiten des Dreiecks sind noch immer, wie in der Ebene, die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Eckpunkten, nur sind diese kürzesten Verbindungen gekrümmt und ® iegen auf sogenannten Großkreisen der Kuge ® , deren Mitte ® punkt im Kuge ® mitte ® punkt ® iegt. Man kann in der Abbi ® dung ® eicht erkennen, dass das eingezeichnete Dreieck eine Winke ® summe von mehr a ® s 180° hat. So betrachtet ist die nicht­ euk ® idische Geometrie für uns „Erdenmenschen“ eigent ® ich rea ® istischer a ® s die euk ® idische Geometrie. Ebenso hat die Entdeckung der Raumkrümmung durch A ® bert Einstein dazu geführt, dass die euk ® idische Geometrie nicht zur Beschreibung des Raumes im Universum geeignet ist. Und was ist nun mit der dir so vertrauten, in der Schu ® e ge ® ehrten Geometrie des Euk ® id und dem Para ®® e ® enaxiom? Sie ge ® ten nur auf k ® einem Raum, näm ® ich nur so ® ange Krümmungen vernach ® ässigbar sind – zum Beispie ® auf einer Seite in deinem Mathematikheft. Ó Ver- tiefung Euk ® ids Axiome u4yd5m Ó Arbeits- b ® att Übungen mit Axiomen- systemen by85fq Ó Ver- tiefung Ko ® mogorow Axiome Peano Axiome 2z32xc A C B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv