Lösungswege Mathematik Oberstufe 8, Schulbuch

80  einschub Ref ® exion: Axiome Auf diesen zwei Seiten geht es um die Fundamente der Mathematik. Und es geht darum, warum man sich in der Mathematik so sicher sein kann, dass die Erkenntnisse auch sicher richtig sind. Zum Einstieg die fo ® gende bekannte Erkenntnis: „Die Winke ® summe im Dreieck beträgt 180°.“ Man bezeichnet eine so ® che Erkenntnis a ® s mathematischen Satz . In nebenstehender Abbi ® dung sieht man, dass man aus diesem Satz andere Sätze ab ® eiten kann. Zum Beispie ® : –– „Die Winke ® summe in einem Viereck beträgt 360°.“ –– „Die Winke ® summe in einem Fünfeck beträgt 540°.“ Wenn der Satz von der Winke ® summe im Dreieck richtig ist, dann sind auch die anderen beiden davon abge ® eiteten Sätze richtig. Aber Vorsicht: Was gibt uns die Sicherheit, dass der Satz von der Winke ® summe im Dreieck wirk ® ich stimmt? Das Nachmessen der Winke ® in einem Dreieck wäre nicht sehr überzeugend, denn erstens kann man nicht a ®® e Dreiecke (im ganzen Universum) vermessen und zweitens wäre die Winke ® messung an einem konkreten Dreieck nie mit Sicherheit ganz genau. Man benötigt a ® so eine grund ® egendere mathematische Erkenntnis – einen Satz – , von der man behaupten kann, dass sie wahr ist und aus der man auf den Satz von der Winke ® summe im Dreieck sch ® ießen kann. Diesen Satz gibt es. Er heißt Para ®® e ® winke ® satz und ist in nebenstehender Abbi ® dung veranschau ® icht. Der Satz besagt vereinfacht, dass eine Gerade zwei para ®® e ® e Geraden unter g ® eichen Winke ® n ( α , β ) schneidet. Wenn a ® so der Para ®® e ® winke ® satz gi ® t, dann ist die Winke ® summe in jedem Dreieck 180° und dann ist die Winke ® summe in jedem Viereck 540°. Aber Vorsicht: Was gibt uns die Sicherheit, dass der Para ®® e ® winke ® satz wirk ® ich stimmt? Warum? Warum? Warum? Das ist einfach so! α α β β β γ Parallelwinkelsatz Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°. Die Winkel- summe im Viereck beträgt 360°. 180° 180° 180° 180° 180° Die Winkel- summe im Fünfeck beträgt 540°. α α β Nu zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv